10 Первая труба пропускает на 6 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объёмом 468 литров она заполняет на 8 минут быстрее, чем первая труба заполняет резервуар объёмом 520 литров?

Решение:

Пусть \( x \) литров в минуту пропускает вторая труба. Тогда первая труба пропускает \( x-6 \) литров в минуту.

Время заполнения резервуара объёмом 468 литров второй трубой: \( t_2 = \frac{468}{x} \) минут.

Время заполнения резервуара объёмом 520 литров первой трубой: \( t_1 = \frac{520}{x-6} \) минут.

По условию, вторая труба заполняет резервуар на 8 минут быстрее, чем первая. Это означает, что время первой трубы больше времени второй на 8 минут:

\( t_1 - t_2 = 8 \)

\[ \frac{520}{x-6} - \frac{468}{x} = 8 \]

Умножим обе части уравнения на \( x(x-6) \), чтобы избавиться от знаменателей:

\[ 520x - 468(x-6) = 8x(x-6) \]

\[ 520x - 468x + 2808 = 8x^2 - 48x \]

\[ 52x + 2808 = 8x^2 - 48x \]

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ 8x^2 - 48x - 52x - 2808 = 0 \]

\[ 8x^2 - 100x - 2808 = 0 \]

Разделим всё уравнение на 4 для упрощения:

\[ 2x^2 - 25x - 702 = 0 \]

Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac \).

Здесь \( a = 2 \), \( b = -25 \), \( c = -702 \).

\[ D = (-25)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-702) = 625 + 5616 = 6241 \]

Найдём квадратный корень из дискриминанта: \( \sqrt{6241} = 79 \).

Теперь найдём корни уравнения по формуле: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \).

Первый корень:

\[ x_1 = \frac{-(-25) + 79}{2 \cdot 2} = \frac{25 + 79}{4} = \frac{104}{4} = 26 \]

Второй корень:

\[ x_2 = \frac{-(-25) - 79}{2 \cdot 2} = \frac{25 - 79}{4} = \frac{-54}{4} = -13.5 \]

Поскольку скорость пропускания воды не может быть отрицательной, мы отбрасываем второй корень.

Итак, вторая труба пропускает 26 литров воды в минуту.

Проверим:

Скорость второй трубы: \( 26 \) л/мин.

Скорость первой трубы: \( 26 - 6 = 20 \) л/мин.

Время заполнения 468 л второй трубой: \( \frac{468}{26} = 18 \) минут.

Время заполнения 520 л первой трубой: \( \frac{520}{20} = 26 \) минут.

Разница во времени: \( 26 - 18 = 8 \) минут. Условие задачи выполнено.

Ответ: 26 литров в минуту.