10. Ниже приведены комбинаторные задачи для учащихся начальных классов. Решите их методом перебора и используя формулы комбинаторики. Выбор формул обоснуйте. а) Аня, Боря, Вера и Гена — лучшие лыжники школы. На соревнования надо выбрать из них троих. Сколькими способами можно это сделать? б) Круг разделили на две части и решили раскрасить их карандашами разных цветов. Сколькими способами можно это сделать, если имеются красный, зелёный и синий карандаши? в) При изготовлении авторучки, коробки и колпачок могут иметь одинаковый или разный цвет. На фабрике есть пластмасса четырёх цветов: белого, красного, синего и зелёного. Какие отличающиеся по цвету ручки можно изготовить? г) На прямой взяли 4 точки. Сколько всего получилось отрезков, концами которых являются эти точки? д) За свою рисунки ученик получил две положительные отметки. Какими они могут быть? Сколько матчей даёт один раз с каждой из пяти футбольных команд? е) В соревнованиях участвуют 5 футбольных команд. Каждая команда играет один раз с каждой из остальных команд. Сколько матчей будет сыграно?

а) Выбираем 3 лыжников из 4. Порядок выбора не важен, поэтому используем сочетания:

\(C_4^3=\frac{4!}{3!\,1!}=4\).

Перебор: можно не включить в команду Аню, Борю, Веру или Гену — всего 4 команды.

Ответ: 4 способа.

б) Части круга различимы. Для первой части есть 3 выбора цвета, для второй — 2 оставшихся, так как цвета должны быть разными: \(3\cdot2=6\).

Ответ: 6 способов.

в) В условии, по-видимому, сказано об авторучке и её колпачке. Если это два отдельных предмета, каждому независимо выбирают один из 4 цветов: \(4\cdot4=16\). Варианты — все упорядоченные пары цветов из набора «белый, красный, синий, зелёный», включая пары одного цвета.

Ответ: 16 вариантов.

г) Каждый отрезок задаётся парой различных точек. Выбираем 2 точки из 4, не учитывая порядок:

\(C_4^2=\frac{4\cdot3}{2}=6\).

Ответ: 6 отрезков.

д) Положительные отметки в обычной пятибалльной системе — 3, 4 и 5. Для каждой из двух отметок есть 3 возможности; порядок получения отметок учитываем. Поэтому \(3\cdot3=9\) пар: (3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (5, 3), (5, 4), (5, 5).

Ответ: 9 возможных пар отметок.

е) Каждый матч задаётся парой команд, порядок не важен. Выбираем 2 команды из 5:

\(C_5^2=\frac{5\cdot4}{2}=10\).

Ответ: 10 матчей.