10. Ниже даны измерения прямоугольника и треугольника. а) 1) Выразите площадь прямоугольника через x и y. 2) Выразите площадь треугольника через x и y. b) Вычтите площадь прямоугольника из площади треугольника. c) 1) Разложите на множители выражение, полученное в пункте b). 2) Докажите, что если y — простое число, то площадь треугольника всегда больше или равна площади прямоугольника.

а) 1) Площадь прямоугольника равна произведению его сторон:

\(S_{\text{прям}}=3x(2y+1)=6xy+3x\) см².

а) 2) Катеты прямоугольного треугольника равны \(2x\) и \((7y+1)\) см. Поэтому

\(S_{\text{треуг}}=\frac{1}{2}\cdot 2x\cdot(7y+1)=x(7y+1)=7xy+x\) см².

b) Вычитаем площадь прямоугольника из площади треугольника:

\(S_{\text{треуг}}-S_{\text{прям}}=(7xy+x)-(6xy+3x)=xy-2x\) см².

c) 1) Выносим общий множитель \(x\):

\(xy-2x=x(y-2)\).

c) 2) Если \(y\) — простое число, то оно является натуральным числом и \(y\ge 2\). Длины сторон положительны, поэтому \(x>0\). Тогда \(y-2\ge 0\), а значит, \(x(y-2)\ge 0\). Следовательно, разность площадей \(S_{\text{треуг}}-S_{\text{прям}}\) неотрицательна.

Ответ: площадь треугольника больше или равна площади прямоугольника; равенство достигается при \(y=2\).