10. Найдите основание х системы счисления, если: a) 14x=910; 6) 2002x=13010

Решение:

Для нахождения основания системы счисления x, преобразуем данные уравнения в десятичную систему.

1. а) \( 14_x = 9_{10} \)
   Развернём число \( 14_x \) по степеням основания \( x \):
   \[ 1 \cdot x^1 + 4 \cdot x^0 = 9 \]
   \[ x + 4 = 9 \]
   Вычтем 4 из обеих частей уравнения:
   \[ x = 9 - 4 \]
   \[ x = 5 \]Проверим: \( 14_5 = 1 \cdot 5 + 4 = 5 + 4 = 9 \). Верно.
   
2. б) \( 2002_x = 130_{10} \)
   Развернём число \( 2002_x \) по степеням основания \( x \):
   \[ 2 \cdot x^3 + 0 \cdot x^2 + 0 \cdot x^1 + 2 \cdot x^0 = 130 \]
   \[ 2x^3 + 2 = 130 \]
   Вычтем 2 из обеих частей уравнения:
   \[ 2x^3 = 130 - 2 \]
   \[ 2x^3 = 128 \]
   Разделим обе части на 2:
   \[ x^3 = \frac{128}{2} \]
   \[ x^3 = 64 \]
   Извлечём кубический корень:
   \[ x = \sqrt[3]{64} \]
   \[ x = 4 \]Проверим: \( 2002_4 = 2 \cdot 4^3 + 0 \cdot 4^2 + 0 \cdot 4 + 2 \cdot 1 = 2 \cdot 64 + 2 = 128 + 2 = 130 \). Верно.
   

Ответ: а) \( x=5 \); б) \( x=4 \).