10. На рисунке изображено дерево случайного опыта. Известно, что все рёбра, исходящие из одной вершины, равновероятны. а) перерисуйте это дерево и подпишите недостающие вероятности. б) Сколько элементарных событий в этом эксперименте? в) Пользуясь правилом умножения вероятностей, вычислите вероятности цепочек SCHE, SBX г) Найдите вероятность события М.

Решение:

а) Перерисованное дерево с вероятностями:

Дерево случайного опыта состоит из нескольких уровней. На каждом уровне рёбра, исходящие из одной вершины, равновероятны. Найдём количество исходящих рёбер из каждой вершины:

• Из вершины S исходят 3 ребра (к A, C, B). Вероятность каждого ребра = 1/3.


• Из вершины A исходят 2 ребра (к R, D). Вероятность каждого ребра = 1/2.


• Из вершины C исходят 3 ребра (к H, K, V). Вероятность каждого ребра = 1/3.


• Из вершины B исходят 3 ребра (к F, X, M). Вероятность каждого ребра = 1/3.


• Из вершины H исходит 1 ребро (к E). Вероятность = 1.


• Из вершины K исходит 1 ребро (нет обозначения). Вероятность = 1.


• Из вершины X исходит 1 ребро (нет обозначения). Вероятность = 1.

б) Количество элементарных событий:

Элементарные события — это исходы, соответствующие конечным вершинам дерева. Перечислим их:

• S → A → R


• S → A → D


• S → C → H → E


• S → C → K


• S → C → V


• S → B → F


• S → B → X


• S → B → M

Всего 8 элементарных событий.

в) Вероятности цепочек SCHE, SBX:

Используем правило умножения вероятностей для независимых событий:

• P(SCHE) = P(S→C) * P(C→H) * P(H→E) = \( \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{9} \)


• P(SBX) = P(S→B) * P(B→X) = \( \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9} \)

г) Вероятность события М:

Событие M соответствует цепочке S → B → M.

P(M) = P(S→B) * P(B→M) = \( \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9} \)

Ответ: а) Вероятности указаны в описании пункта а). б) 8 элементарных событий. в) P(SCHE) = 1/9, P(SBX) = 1/9. г) P(M) = 1/9.