10. Биссектрисы углов А и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке К, лежащей на стороне ВС. Докажите, что К — середина ВС.

Доказательство:

1. 1. Свойства параллелограмма: В параллелограмме противоположные стороны параллельны и равны. Значит, \( AD \parallel BC \) и \( AD = BC \).
2. 2. Накрест лежащие углы: Так как \( AD \parallel BC \) и \( AK \) — биссектриса угла \( A \) (и секущая), то \( \angle DAK = \angle AKB \) как накрест лежащие углы.
3. 3. Биссектриса и углы: Так как \( AK \) — биссектриса угла \( A \), то \( \angle DAK = \angle KAB \).
4. 4. Равенство углов: Из пунктов 2 и 3 следует, что \( \angle AKB = \angle KAB \).
5. 5. Равнобедренный треугольник: В треугольнике \( \Delta ABK \) углы \( \angle AKB \) и \( \angle KAB \) равны. Следовательно, \( \Delta ABK \) — равнобедренный, и \( AB = BK \).
6. 6. Аналогично для угла D: Аналогично, используя биссектрису \( DK \) угла \( D \) и параллельность \( AD \parallel BC \), доказываем, что \( \Delta DKC \) — равнобедренный, и \( CD = KC \).
7. 7. Равенство сторон: В параллелограмме противоположные стороны равны: \( AB = CD \).
8. 8. Заключение: Из равенств \( AB = BK \), \( CD = KC \) и \( AB = CD \) следует, что \( BK = KC \). Это значит, что точка \( K \) делит сторону \( BC \) пополам.

Что и требовалось доказать.