10.2. Дано равенство \(\rho=\dfrac{s t^3}{2-s}\), связывающее три величины: \(\rho, s, t\). а) Выразите из этого равенства \(s\) через \(\rho\) и \(t\); б) выразите из этого равенства \(t\) через \(s\) и \(\rho\).

Учитываем, что в исходном равенстве \(s\ne 2\).

а) Выразим \(s\):

Умножим обе части на \(2-s\): \(\rho(2-s)=st^3\).

Раскроем скобки и соберём слагаемые с \(s\): \(2\rho=s(\rho+t^3)\).

Если \(\rho+t^3\ne 0\), делим на этот множитель:

\[s=\frac{2\rho}{\rho+t^3}.\]

Особый случай: если \(\rho+t^3=0\), равенство \(2\rho=s(\rho+t^3)\) возможно только при \(\rho=0\), а тогда также \(t=0\). При \(\rho=t=0\) исходное равенство выполняется для любого \(s\ne 2\).

б) Выразим \(t\):

Из исходного равенства получаем \(t^3=\dfrac{\rho(2-s)}{s}\), если \(s\ne 0\). Извлекаем кубический корень:

\[t=\sqrt[3]{\frac{\rho(2-s)}{s}}.\]

Если \(s=0\), исходное равенство требует \(\rho=0\), и тогда оно не определяет \(t\): подходит любое значение \(t\).