10. 1) Докажите, что сумма квадратов двух не кратных трем последовательных натуральных чисел не делится на 6.

Решение:

1. Любое натуральное число, не кратное трем, при делении на 3 дает остаток 1 или 2.
2. Пусть первое число \(n = 3k + 1\) (где \(k ≥ 0\) - целое число, если \(n\) натуральное, то \(k ≥ 0\); если \(n ≥ 1\), то \(k ≥ 0\)).
3. Тогда второе число, не кратное трем, может быть \(n+1 = 3k+2\) или \(n+2 = 3k+3\) (кратное 3) или \(n+3 = 3k+4\) (кратное 3).
4. Следовательно, два последовательных натуральных числа, не кратных трем, могут быть в виде \(3k+1\) и \(3k+2\) или \(3k+2\) и \(3k+4\) (что эквивалентно \(3(k+1)+1\)).
5. Рассмотрим случай 1: числа \(3k+1\) и \(3k+2\).
6. Их сумма квадратов: \((3k+1)^2 + (3k+2)^2 = (9k^2 + 6k + 1) + (9k^2 + 12k + 4) = 18k^2 + 18k + 5\).
7. \(18k^2 + 18k + 5 = 6(3k^2 + 3k) + 5\). Это число при делении на 6 дает остаток 5.
8. Рассмотрим случай 2: числа \(3k+2\) и \(3(k+1)+1 = 3k+4\).
9. Их сумма квадратов: \((3k+2)^2 + (3k+4)^2 = (9k^2 + 12k + 4) + (9k^2 + 24k + 16) = 18k^2 + 36k + 20\).
10. \(18k^2 + 36k + 20 = 6(3k^2 + 6k + 3) + 2\). Это число при делении на 6 дает остаток 2.
11. В обоих случаях сумма квадратов двух не кратных трем последовательных натуральных чисел не делится на 6.

Ответ: Доказано.