1. Высота СД прямоугольного треугольника АВС равна 24 см и отсекает от гипотенузы АВ отрезок DB = 18 см. Найдите АС и cos A. 2. Диагональ АС прямоугольника АВСD равна 5 см и составляет со стороной АD угол равный 30°. Найдите площадь прямоугольника АВСD.

Разбор задачи 1:

В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, обладает особым свойством: квадрат высоты равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу. Также, квадрат катета равен произведению гипотенузы на отрезок гипотенузы, прилежащий к этому катету.

Дано:

• \[ \triangle ABC \text{ (прямоугольный)} \]
• \[ CD \perp AB \]
• \[ CD = 24 \text{ см} \]
• \[ DB = 18 \text{ см} \]

Найти:

• \[ AC = ? \]
• \[ \cos A = ? \]

Решение:

1. Находим BC: В прямоугольном треугольнике \[ \triangle CDB \] по теореме Пифагора:

$$BC^2 = CD^2 + DB^2$$$$BC^2 = 24^2 + 18^2$$$$BC^2 = 576 + 324$$$$BC^2 = 900$$$$BC = \sqrt{900} = 30 \text{ см}$$

2. Находим AB: Используем свойство высоты прямоугольного треугольника:

$$CD^2 = AD \cdot DB$$$$24^2 = AD \cdot 18$$$$576 = AD \cdot 18$$$$AD = \frac{576}{18} = 32 \text{ см}$$$$AB = AD + DB = 32 + 18 = 50 \text{ см}$$

3. Находим AC: В прямоугольном треугольнике \[ \triangle ADC \] по теореме Пифагора:

$$AC^2 = AD^2 + CD^2$$$$AC^2 = 32^2 + 24^2$$$$AC^2 = 1024 + 576$$$$AC^2 = 1600$$$$AC = \sqrt{1600} = 40 \text{ см}$$

Альтернативный способ найти AC (используя свойство катета):

$$AC^2 = AB \cdot AD$$$$AC^2 = 50 \cdot 32$$$$AC^2 = 1600$$$$AC = \sqrt{1600} = 40 \text{ см}$$

4. Находим oldmath $$\cos A$$:

$$ \cos A = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{AB} $$$$ \cos A = \frac{40}{50} = \frac{4}{5} = 0.8 $$

Ответ:

• \[ AC = 40 \text{ см} \]
• \[ \cos A = 0.8 \]

Разбор задачи 2:

Дано:

• \[ ABCD \text{ (прямоугольник)} \]
• \[ AC = 5 \text{ см} \]
• \[ \angle CAD = 30^{\circ} \]

Найти:

• \[ S_{ABCD} = ? \]

Решение:

1. Диагонали прямоугольника равны. Значит, \[ AC = BD = 5 \text{ см} \].
2. В прямоугольном треугольнике oldmath $$\triangle ADC$$:

• \[ \angle ADC = 90^{\circ} \]
• \[ AC = 5 \text{ см} \]
• \[ \angle CAD = 30^{\circ} \]

Используем тригонометрические соотношения:

$$ \sin(\angle CAD) = \frac{CD}{AC} $$$$ CD = AC \cdot \sin(\angle CAD) = 5 \cdot \sin(30^{\circ}) = 5 \cdot \frac{1}{2} = 2.5 \text{ см} $$$$ \cos(\angle CAD) = \frac{AD}{AC} $$$$ AD = AC \cdot \cos(\angle CAD) = 5 \cdot \cos(30^{\circ}) = 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ см} $$

3. Находим площадь прямоугольника:

$$ S_{ABCD} = AD \cdot CD $$$$ S_{ABCD} = \left( 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \cdot 2.5 $$$$ S_{ABCD} = \frac{25 \sqrt{3}}{4} \text{ см}^2 $$

Ответ:

• \[ S_{ABCD} = \frac{25 \sqrt{3}}{4} \text{ см}^2 \]