1. Выполните сложение 10⁵⁄₆ + 2⁷⁄₁₈. 2. Выполните вычитание 13,7 – 18,85. 3. Вычислите wbar(12) &bar(17) &bar(3) &bar(34) &bar(-0,25). 4. Выполните действия |-4,5| + |3,6|. 5. Выполните действия 21,7 : (⁳⁄₁₅ – wbar(1ⁱ⁄₅′′)). 6. Сравните числа 1,27 x 10⁻³ и 5,41 x 10⁻⁴. 7. Вычислите wbar(125 ⁄ 3) &bar(3 ⁄ 20). 8. Упростите выражение \(\frac{3}\){\(\sqrt{3}\)+\(\sqrt{2}\)} + \(\frac{5}\){\(\sqrt{3}\)-\(\sqrt{2}\)}.

Решение:

1. Сложение дробей:

   Чтобы сложить дроби 10⁵/₆ и 2⁷/₁₈, приведем их к общему знаменателю 18.

   10⁵/₆ = (10 x 3)^{(5 x 3)}/_{(6 x 3)} = 30¹⁵/₁₈

   Теперь складываем: 30¹⁵/₁₈ + 2⁷/₁₈ = (30 + 2)^{(15 + 7)}/₁₈ = 32²²/₁₈

   Сокращаем дробь 22/18: 32¹¹/₉

   Выделяем целую часть: 32¹¹/₉ = 33²/₉

2. Вычитание десятичных дробей:

   13,7 – 18,85

   Чтобы вычесть большее число из меньшего, вычитаем меньшее из большего и ставим знак минус.

   18,85 – 13,7 = 5,15

   Значит, 13,7 – 18,85 = –5,15

3. Умножение дробей и десятичной дроби:

   Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: –0,25 = –25/100 = –1/4

   Теперь умножаем:

   ¹²/₁₇ x ³/₃₄ x (–¹/₄)

   Умножаем числители и знаменатели:

   –(12 x 3 x 1) / (17 x 34 x 4) = –36 / 2312

   Сокращаем дробь (делим числитель и знаменатель на 4):

   –9 / 578

4. Сложение модулей:

   Модуль числа — это его расстояние от нуля, поэтому он всегда положителен.

   |-4,5| = 4,5

   |3,6| = 3,6

   Складываем: 4,5 + 3,6 = 8,1

5. Выполнение действий со смешанными числами:

   Сначала вычитаем дроби в скобках:

   ³/₁₅ – ¹/₁₅ = ^(3-1)/₁₅ = ²/₁₅

   Теперь делим 21,7 на результат:

   21,7 : ²/₁₅

   Преобразуем 21,7 в дробь: 21,7 = 217/10

   Деление на дробь — это умножение на обратную дробь:

   ²¹⁷/₁₀ x ¹⁵/₂

   Умножаем:

   (217 x 15) / (10 x 2) = 3255 / 20

   Сокращаем на 5:

   651 / 4

   Выделяем целую часть:

   162³/₄

6. Сравнение чисел в стандартном виде:

   1,27 x 10^–3 и 5,41 x 10^–4

   Чтобы сравнить эти числа, приведем их к одному показателю степени. Удобнее привести к 10^–3.

   5,41 x 10^–4 = 0,541 x 10^–3

   Теперь сравниваем 1,27 и 0,541. Поскольку 1,27 > 0,541, то 1,27 x 10^–3 > 5,41 x 10^–4.

7. Вычисление квадратных корней:

   √wbar(125 ⁄ 3) x √wbar(3 ⁄ 20)

   Упростим корни:

   √wbar(125 ⁄ 3) = √wbar(125) / √wbar(3) = 5√5 / √3

   √wbar(3 ⁄ 20) = √wbar(3) / √wbar(20) = √3 / 2√5

   Теперь перемножим:

   (5√5 / √3) x (√3 / 2√5)

   Сокращаем √5 и √3:

   5 / 2 = 2,5

8. Упрощение выражения с корнями:

   Чтобы упростить это выражение, избавимся от иррациональности в знаменателях, умножив числитель и знаменатель каждой дроби на сопряженное выражение.

   Для первой дроби ³/_{√{3}+√{2}}, умножаем на √{3}–√{2}:

   (3 x (√{3}–√{2})) / ((√{3}+√{2}) x (√{3}–√{2})) = (3√{3}–3√{2}) / (3 – 2) = 3√{3}–3√{2}

   Для второй дроби ⁵/_{√{3}–√{2}}, умножаем на √{3}+√{2}:

   (5 x (√{3}+√{2})) / ((√{3}–√{2}) x (√{3}+√{2})) = (5√{3}+5√{2}) / (3 – 2) = 5√{3}+5√{2}

   Теперь складываем результаты:

   (3√{3}–3√{2}) + (5√{3}+5√{2})

   Группируем подобные члены:

   (3√{3} + 5√{3}) + (–3√{2} + 5√{2}) = 8√{3} + 2√{2}

Ответ:

1. 33²/₉
2. -5,15
3. -9/578
4. 8,1
5. 162³/₄
6. 1,27 x 10^–3 > 5,41 x 10^–4
7. 2,5
8. 8√{3} + 2√{2}