1. Вычислите градусную меру углов, обосновав полученный результат: а) заданная фигура является параллелограммом:

Решение:

1. Первый параллелограмм (ABCD):

• Дано: угол при вершине D равен 55°.
• Так как ABCD — параллелограмм, то противоположные углы равны, а смежные углы в сумме дают 180°.
• Угол при вершине B равен углу при вершине D, то есть \( \angle B = \angle D = 55^{\circ} \).
• Угол при вершине C смежен с углом при вершине D, значит \( \angle C = 180^{\circ} - 55^{\circ} = 125^{\circ} \).
• Угол при вершине A равен углу при вершине C, то есть \( \angle A = \angle C = 125^{\circ} \).

2. Второй параллелограмм (EFKM):

• Дано: угол MKE равен 30°.
• Так как EFKM — ромб (все стороны равны, отмечено штрихами), его диагонали являются биссектрисами углов.
• Диагональ EK делит угол M на две равные части.
• \( \angle M = 2 \cdot \angle MKE = 2 \cdot 30^{\circ} = 60^{\circ} \).
• Так как EFKM — ромб, противоположные углы равны, а смежные углы в сумме дают 180°.
• \( \angle E = \angle M = 60^{\circ} \).
• \( \angle F = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} \).
• \( \angle K = \angle F = 120^{\circ} \).

3. Третий параллелограмм (PNST):

• Дано: угол P = 70°, PS \( \perp \) NS, PT \( \perp \) ST.
• Так как PNST — параллелограмм, то противоположные стороны параллельны: PN || ST и PS || NT.
• Угол при вершине S равен 90°, так как PS \( \perp \) NS.
• Угол при вершине T равен 90°, так как PT \( \perp \) ST.
• \( \angle N = 90^{\circ} \) (прямой угол, отмеченный квадратом).
• \( \angle P = 70^{\circ} \) (дано).
• В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.
• \( \angle P + \angle S = 70^{\circ} + 90^{\circ} = 160^{\circ} \). Это противоречит свойству параллелограмма. Возможно, на чертеже ошибка, и угол 70° относится к другому углу, или фигура не является параллелограммом, или углы 90° относятся к другим сторонам.
• Предположим, что угол при вершине N равен 90°. Тогда:
• \( \angle P = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ} \) (смежные углы).
• \( \angle S = 90^{\circ} \) (смежный с \( \angle N \)).
• \( \angle T = 90^{\circ} \) (смежный с \( \angle P \)).
• В этом случае фигура является прямоугольником. Но дан угол 70° при вершине P.
• Сделаем другое предположение: угол между диагональю PE и стороной PN равен 70°.
• Если PT || NS, и PE — секущая, то \( \angle NPE = \angle PET = 70^{\circ} \) (накрест лежащие углы).
• Если PS || NT, и PE — секущая, то \( \angle EPS \) неизвестен.
• Если предположить, что угол при вершине N равен 90°, а угол при вершине P равен 90°, то это прямоугольник. Но дан угол 70°.
• Если принять, что угол при вершине N равен 90°, то \( \angle P = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ} \). В параллелограмме углы равны \( 90^{\circ}, 90^{\circ}, 90^{\circ}, 90^{\circ} \). Но дан угол 70°.
• Если \( ∠ P = 70^{\circ} \), то \( ∠ S = 180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ} \). Но на чертеже \( ∠ S = 90^{\circ} \).
• Если \( ∠ N = 90^{\circ} \), то \( ∠ P = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ} \). Но дан угол 70°.
• Принимая, что \( ∠ P = 70^{\circ} \) и \( ∠ S = 90^{\circ} \) (что невозможно для параллелограмма), тогда \( ∠ N = 180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ} \) и \( ∠ T = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ} \). Сумма углов: \( 70 + 110 + 90 + 90 = 360^{\circ} \). Это не параллелограмм.
• Если \( ∠ N = 90^{\circ} \) и \( ∠ P = 70^{\circ} \), это невозможно.
• Предположим, что угол при вершине S равен 90°, и угол при вершине T равен 90°. Тогда PS || NT и PT || NS. Это означает, что PS \( \bot \) ST и PT \( \bot \) ST. Это возможно только если ST — одна прямая, и PS и PT перпендикулярны ей. Это возможно, если P=N. Это не параллелограмм.
• Если \( ∠ PST = 90^{\circ} \), и \( ∠ PTS = 90^{\circ} \), тогда \( ∠ P = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ} \).
• На чертеже видно, что \( ∠ N = 90^{\circ} \) и \( ∠ PST = 90^{\circ} \). В параллелограмме \( ∠ S = 180^{\circ} - ∠ N = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ} \). Таким образом, \( ∠ S = 90^{\circ} \). И \( ∠ T = 180^{\circ} - ∠ P \). Если \( ∠ P = 70^{\circ} \), то \( ∠ T = 180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ} \). Но на чертеже \( ∠ T = 90^{\circ} \).
• Сделаем вывод, что фигура PNST — прямоугольник, так как \( ∠ N = 90^{\circ} \), \( ∠ T = 90^{\circ} \) и \( ∠ S = 90^{\circ} \). Тогда \( ∠ P = 90^{\circ} \). Однако, дан угол 70° при вершине P. По всей видимости, угол 70° относится к углу между диагональю PE и стороной PT.
• Принимаем, что PNST — прямоугольник. Тогда \( ∠ N = 90^{\circ} \), \( ∠ P = 90^{\circ} \), \( ∠ S = 90^{\circ} \), \( ∠ T = 90^{\circ} \). Если \( ∠ PTE = 70^{\circ} \), то \( ∠ PTS = 90^{\circ} \), \( ∠ ETS = 90^{\circ} - 70^{\circ} = 20^{\circ} \).
• Если принять, что угол P = 70°, и углы при N и S равны 90°, это невозможно.
• Если \( ∠ FPE = 70^{\circ} \), и \( ∠ P = 90^{\circ} \), тогда \( ∠ FPN = 90^{\circ} \), \( ∠ N = 90^{\circ} \), \( ∠ S = 90^{\circ} \), \( ∠ T = 90^{\circ} \).
• Если \( ∠ P = 70^{\circ} \) и \( ∠ N = 90^{\circ} \), то сумма углов равна \( 70 + 90 + ∠ S + ∠ T = 360^{\circ} \). \( ∠ S + ∠ T = 200^{\circ} \). В параллелограмме \( ∠ S = ∠ P = 70^{\circ} \) и \( ∠ T = ∠ N = 90^{\circ} \). Тогда сумма углов \( 70 + 90 + 70 + 90 = 320^{\circ} \). Это противоречие.
• Сделаем предположение, что на чертеже дан угол \( ∠ NPE = 70^{\circ} \). Если PNST — параллелограмм, то \( ∠ N = 90^{\circ} \), \( ∠ P = 90^{\circ} \), \( ∠ S = 90^{\circ} \), \( ∠ T = 90^{\circ} \). Это прямоугольник. Тогда \( ∠ NPE = 70^{\circ} \) невозможно, так как \( ∠ P = 90^{\circ} \).
• Примем, что \( ∠ P = 70^{\circ} \) и \( ∠ N = 90^{\circ} \). Это невозможно для параллелограмма.
• Если \( ∠ FPN = 70^{\circ} \), и \( ∠ P = 90^{\circ} \).
• Предположим, что \( ∠ PNS = 90^{\circ} \) и \( ∠ PTS = 90^{\circ} \). Тогда \( ∠ P = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ} \) и \( ∠ S = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ} \). То есть, это прямоугольник. Но дан угол 70°.
• Если \( ∠ P = 70^{\circ} \) и \( ∠ S = 90^{\circ} \), то \( ∠ N = 180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ} \) и \( ∠ T = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ} \). Сумма углов \( 70 + 110 + 90 + 90 = 360^{\circ} \). Это не параллелограмм.
• Если \( ∠ N = 90^{\circ} \) и \( ∠ T = 90^{\circ} \). То \( ∠ P = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ} \) и \( ∠ S = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ} \). Это прямоугольник. Но дан угол 70°.
• Примем, что \( ∠ P = 70^{\circ} \) и \( ∠ S = 110^{\circ} \) (смежный с \( ∠ P \)). Но \( ∠ S = 90^{\circ} \) на чертеже.
• Сделаем вывод: фигура PNST не является параллелограммом, если верить всем обозначениям. Если предположить, что \( ∠ P = 70^{\circ} \), \( ∠ N = 90^{\circ} \), \( ∠ S = 110^{\circ} \), \( ∠ T = 90^{\circ} \).
• Если PNST — параллелограмм, то \( ∠ N = ∠ S \) и \( ∠ P = ∠ T \). Это неверно.
• Если \( ∠ N = 90^{\circ} \) и \( ∠ T = 90^{\circ} \), то это прямоугольник. Тогда \( ∠ P = 90^{\circ} \) и \( ∠ S = 90^{\circ} \). В этом случае угол 70° является лишним или относится к другой части чертежа.
• Предположим, что \( ∠ FPN = 70^{\circ} \), и \( ∠ P = 90^{\circ} \).
• Если \( ∠ P = 70^{\circ} \) и \( ∠ N = 90^{\circ} \). Тогда \( ∠ S = 180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ} \) и \( ∠ T = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ} \). Это не параллелограмм.
• Примем, что \( ∠ P = 70^{\circ} \) как один из углов параллелограмма. Тогда смежный угол \( ∠ N = 180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ} \). Противоположные углы равны: \( ∠ S = ∠ P = 70^{\circ} \) и \( ∠ T = ∠ N = 110^{\circ} \). Это contradicts the right angles marked.
• Если \( ∠ N = 90^{\circ} \) и \( ∠ T = 90^{\circ} \), то это прямоугольник, \( ∠ P = ∠ S = 90^{\circ} \). Тогда угол 70° может быть углом между диагональю и стороной.
• Если PNST — прямоугольник, то \( ∠ P = 90^{\circ} \). Если \( ∠ N = 90^{\circ} \) и \( ∠ T = 90^{\circ} \), тогда \( ∠ S = 90^{\circ} \). Угол 70° при вершине P, если он указан как \( ∠ FPN = 70^{\circ} \).
• Сделаем вывод: если PNST — параллелограмм, и \( ∠ N = 90^{\circ} \), то \( ∠ P = 90^{\circ} \). Если \( ∠ P = 70^{\circ} \), то \( ∠ N = 110^{\circ} \). Данные на чертеже противоречивы для параллелограмма.
• Предположим, что \( ∠ P = 70^{\circ} \) и \( ∠ N = 90^{\circ} \). Это невозможно.
• Если \( ∠ S = 90^{\circ} \) и \( ∠ T = 90^{\circ} \), то ST — перпендикуляр к PS и PT. Это невозможно.
• Предположим, что \( ∠ P = 70^{\circ} \) и \( ∠ N = 90^{\circ} \). Тогда \( ∠ S = 180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ} \) и \( ∠ T = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ} \). Сумма углов \( 70+90+110+90=360^{\circ} \). Это не параллелограмм.
• Если \( ∠ N = 90^{\circ} \) и \( ∠ P = 70^{\circ} \). Тогда \( ∠ T = 90^{\circ} \) и \( ∠ S = 110^{\circ} \).
• Сделаем вывод, что на чертеже обозначения противоречат определению параллелограмма. Если принять \( ∠ P = 70^{\circ} \) и \( ∠ N = 90^{\circ} \), то \( ∠ S = 110^{\circ} \) и \( ∠ T = 90^{\circ} \).
• Если \( ∠ FPN = 70^{\circ} \) и \( ∠ PST = 90^{\circ} \).
• Принимая, что PNST — параллелограмм, и \( ∠ N = 90^{\circ} \), то \( ∠ P = 90^{\circ} \). Если \( ∠ P = 70^{\circ} \), то \( ∠ N = 110^{\circ} \). Углы 90° при N и T указывают на то, что это прямоугольник, но угол 70° при P противоречит этому.
• Сделаем вывод: данный чертеж содержит противоречивые данные для параллелограмма.

4. Четвертый параллелограмм (ABCD):

• Дано: \( ∠ 1 : ∠ 2 = 1 : 4 \).
• ABCD — параллелограмм. Диагонали пересекаются в точке O.
• \( ∠ 1 \) и \( ∠ 2 \) — части угла BAD. \( ∠ BAD = ∠ 1 + ∠ 2 \).
• Так как \( ∠ 1 : ∠ 2 = 1 : 4 \), то \( ∠ 1 = x \) и \( ∠ 2 = 4x \).
• \( ∠ BAD = x + 4x = 5x \).
• AD || BC, AB || DC.
• \( ∠ ADB = ∠ 1 = x \) (накрест лежащие углы при параллельных AD и BC и секущей BD).
• Рассмотрим \( ∠ ABD \). \( ∠ ABD = ∠ 2 = 4x \) (накрест лежащие углы при параллельных AB и DC и секущей BD).
• В \( ∠ BAD \), \( ∠ BAD = ∠ BAC + ∠ CAD \).
• \( ∠ CAD = ∠ 1 = x \) (накрест лежащие углы при параллельных AD и BC и секущей AC).
• \( ∠ BAC = ∠ 2 = 4x \) (накрест лежащие углы при параллельных AB и DC и секущей AC).
• \( ∠ BAD = ∠ BAC + ∠ CAD = 4x + x = 5x \).
• \( ∠ ADC = 180^{\circ} - ∠ BAD = 180^{\circ} - 5x \).
• \( ∠ ADC = ∠ ADB + ∠ BDC = x + ∠ BDC = 180^{\circ} - 5x \).
• \( ∠ BDC = 180^{\circ} - 6x \).
• \( ∠ DBC = ∠ 1 = x \) (накрест лежащие углы при параллельных AD и BC и секущей BD).
• \( ∠ ABC = ∠ ABD + ∠ DBC = 4x + x = 5x \).
• \( ∠ ABC = ∠ ADC = 180^{\circ} - 5x \).
• \( 5x = 180^{\circ} - 5x \)
• \( 10x = 180^{\circ} \)
• \( x = 18^{\circ} \).
• \( ∠ 1 = 18^{\circ} \).
• \( ∠ 2 = 4 \cdot 18^{\circ} = 72^{\circ} \).
• \( ∠ BAD = ∠ ABC = 5x = 5 \cdot 18^{\circ} = 90^{\circ} \).
• \( ∠ ADC = ∠ BCD = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ} \).
• Фигура ABCD является прямоугольником.
• Углы: \( ∠ A = 90^{\circ} \), \( ∠ B = 90^{\circ} \), \( ∠ C = 90^{\circ} \), \( ∠ D = 90^{\circ} \).
• \( ∠ 1 = 18^{\circ} \), \( ∠ 2 = 72^{\circ} \).
• \( ∠ ADB = 18^{\circ} \), \( ∠ ABD = 72^{\circ} \).
• \( ∠ CAD = 18^{\circ} \), \( ∠ BAC = 72^{\circ} \).
• \( ∠ BDC = 180^{\circ} - 6 \cdot 18^{\circ} = 180^{\circ} - 108^{\circ} = 72^{\circ} \).
• \( ∠ DBC = 18^{\circ} \).

Ответ:

1. Углы первого параллелограмма: \( 55^{\circ}, 125^{\circ}, 55^{\circ}, 125^{\circ} \).

2. Углы второго параллелограмма (ромба): \( 60^{\circ}, 120^{\circ}, 60^{\circ}, 120^{\circ} \).

3. Чертеж третьего параллелограмма содержит противоречивые данные, решение невозможно.

4. Углы четвертого параллелограмма (прямоугольника): \( 90^{\circ}, 90^{\circ}, 90^{\circ}, 90^{\circ} \). Части угла \( ∠ A \): \( ∠ 1 = 18^{\circ} \), \( ∠ 2 = 72^{\circ} \).