1. Вычислите: 1) $\log_a a,\ \log_a 1,\ \log_a a^5,\ \log_a \frac{1}{a},\ \log_a \sqrt{a},\ \log_a \sqrt[5]{a^3};$ 2) $\log_{\frac12}\frac14,\ \log_{\frac12}2,\ \log_{\frac12}1,\ \log_{\frac12}8,\ \log_{\frac12}\sqrt2,\ \log_{\frac12}\frac{\sqrt2}{2};$ 3) $\log_3 27,\ \log_3\frac19,\ \log_9\frac1{27},\ \log_2\sqrt2,\ \log_2\frac1{\sqrt2},\ \log_{\sqrt2}4,\ \log_{\sqrt5}\sqrt[4]{125}.$

Question

Вопрос: $Фото задания: 1. Вычислите: 1) $\log_a a,\ \log_a 1,\ \log_a a^5,\ \log_a \frac{1}{a},\ \log_a \sqrt{a},\ \log_a \sqrt[5]{a^3};$ 2)…$ Фото задания

1. Вычислите: 1) $\log_a a,\ \log_a 1,\ \log_a a^5,\ \log_a \frac{1}{a},\ \log_a \sqrt{a},\ \log_a \sqrt[5]{a^3};$ 2) $\log_{\frac12}\frac14,\ \log_{\frac12}2,\ \log_{\frac12}1,\ \log_{\frac12}8,\ \log_{\frac12}\sqrt2,\ \log_{\frac12}\frac{\sqrt2}{2};$ 3) $\log_3 27,\ \log_3\frac19,\ \log_9\frac1{27},\ \log_2\sqrt2,\ \log_2\frac1{\sqrt2},\ \log_{\sqrt2}4,\ \log_{\sqrt5}\sqrt[4]{125}.$

Accepted Answer

Используем определение логарифма: $\log_b c=x$, если $b^x=c$. В первом пункте предполагается, что $a>0$ и $a\ne1$.

1) $\log_a a=1$, так как $a^1=a$; $\log_a1=0$, так как $a^0=1$; $\log_a a^5=5$; $\log_a\frac1a=\log_a a^{-1}=-1$; $\log_a\sqrt a=\log_a a^{1/2}=\frac12$; $\log_a\sqrt[5]{a^3}=\log_a a^{3/5}=\frac35$.

2) Представим числа как степени основания $\frac12$: $\frac14=(\frac12)^2$, поэтому $\log_{\frac12}\frac14=2$; $2=(\frac12)^{-1}$, поэтому $\log_{\frac12}2=-1$; $\log_{\frac12}1=0$; $8=(\frac12)^{-3}$, поэтому $\log_{\frac12}8=-3$; $\sqrt2=(\frac12)^{-1/2}$, поэтому $\log_{\frac12}\sqrt2=-\frac12$; $\frac{\sqrt2}{2}=\frac1{\sqrt2}=(\frac12)^{1/2}$, поэтому $\log_{\frac12}\frac{\sqrt2}{2}=\frac12$.

3) $27=3^3$, значит $\log_3 27=3$; $\frac19=3^{-2}$, значит $\log_3\frac19=-2$; поскольку $9=3^2$ и $\frac1{27}=3^{-3}$, получаем $\log_9\frac1{27}=-\frac32$. Далее: $\sqrt2=2^{1/2}$, поэтому $\log_2\sqrt2=\frac12$; $\frac1{\sqrt2}=2^{-1/2}$, поэтому $\log_2\frac1{\sqrt2}=-\frac12$; $\sqrt2=2^{1/2}$ и $4=2^2$, поэтому $\log_{\sqrt2}4=4$; наконец, $\sqrt5=5^{1/2}$, а $\sqrt[4]{125}=5^{3/4}$, поэтому $\log_{\sqrt5}\sqrt[4]{125}=\frac{3/4}{1/2}=\frac32$.

Ответ: 1) $1,\ 0,\ 5,\ -1,\ \frac12,\ \frac35$; 2) $2,\ -1,\ 0,\ -3,\ -\frac12,\ \frac12$; 3) $3,\ -2,\ -\frac32,\ \frac12,\ -\frac12,\ 4,\ \frac32$.