1. Вычислить определенные интегралы:

Решение:

Для вычисления данных определенных интегралов будем использовать стандартные методы интегрирования и свойства пределов интегрирования.

a)

Интеграл:

\[ \int_{0}^{1} \frac{x-4}{\sqrt{x}-2} dx \]

Метод решения:

1. Замена переменной: Пусть $$u = \sqrt{x}$$. Тогда $$x = u^2$$ и $$dx = 2u du$$.
2. Изменение пределов интегрирования:
• При $$x=0$$, $$u=\sqrt{0}=0$$.
• При $$x=1$$, $$u=\sqrt{1}=1$$.
3. Подстановка в интеграл:

\[ \int_{0}^{1} \frac{u^2-4}{u-2} (2u) du \]

4. Упрощение подынтегральной функции: Используем формулу разности квадратов $$u^2-4 = (u-2)(u+2)$$.

\[ \int_{0}^{1} \frac{(u-2)(u+2)}{u-2} (2u) du = \int_{0}^{1} (u+2)(2u) du \]

\[ = \int_{0}^{1} (2u^2 + 4u) du \]

5. Интегрирование:

\[ \left[ \frac{2u^3}{3} + \frac{4u^2}{2} \right]_{0}^{1} = \left[ \frac{2u^3}{3} + 2u^2 \right]_{0}^{1} \]

6. Вычисление определенного интеграла:

\[ \left( \frac{2(1)^3}{3} + 2(1)^2 \right) - \left( \frac{2(0)^3}{3} + 2(0)^2 \right) = \frac{2}{3} + 2 = \frac{2+6}{3} = \frac{8}{3} \]

b)

Интеграл:

\[ \int_{1}^{e} \frac{x+\sqrt{x}}{x\sqrt{x}} dx \]

Метод решения:

1. Разделение дроби: Разделим числитель на знаменатель.

\[ \frac{x}{x\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{x\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x} \]

2. Преобразование к степенному виду:

\[ x^{-1/2} + x^{-1} \]

3. Интегрирование:

\[ \int_{1}^{e} (x^{-1/2} + x^{-1}) dx = \left[ \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + \ln|x| \right]_{1}^{e} = \left[ \frac{x^{1/2}}{1/2} + \ln|x| \right]_{1}^{e} = \left[ 2\sqrt{x} + \ln|x| \right]_{1}^{e} \]

4. Вычисление определенного интеграла:

\[ (2\sqrt{e} + \ln|e|) - (2\sqrt{1} + \ln|1|) = (2\sqrt{e} + 1) - (2(1) + 0) = 2\sqrt{e} + 1 - 2 = 2\sqrt{e} - 1 \]

c)

Интеграл:

\[ \int_{0}^{1} \frac{4\arctan{x}-1}{x^2+1} dx \]

Метод решения:

1. Разделение дроби:

\[ \int_{0}^{1} \frac{4\arctan{x}}{x^2+1} dx - \int_{0}^{1} \frac{1}{x^2+1} dx \]

2. Интегрирование первой части: Используем замену переменной $$u = \arctan{x}$$, тогда $$du = \frac{1}{x^2+1} dx$$.
• При $$x=0$$, $$u=\arctan{0}=0$$.
• При $$x=1$$, $$u=\arctan{1}=\frac{\pi}{4}$$.

\[ \int_{0}^{\pi/4} 4u du = \left[ 4\frac{u^2}{2} \right]_{0}^{\pi/4} = \left[ 2u^2 \right]_{0}^{\pi/4} = 2(\frac{\pi}{4})^2 - 2(0)^2 = 2\frac{\pi^2}{16} = \frac{\pi^2}{8} \]

3. Интегрирование второй части:

\[ \int_{0}^{1} \frac{1}{x^2+1} dx = \left[ \arctan{x} \right]_{0}^{1} = \arctan{1} - \arctan{0} = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4} \]

4. Вычитание результатов:

\[ \frac{\pi^2}{8} - \frac{\pi}{4} \]

Итог:

• a) \( \frac{8}{3} \)
• b) \( 2\sqrt{e} - 1 \)
• c) \( \frac{\pi^2}{8} - \frac{\pi}{4} \)