Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
-
1. \( \int_{-2}^{1} (3x^2 + x - 2)dx \)
Найдём первообразную:
\( F(x) = \int (3x^2 + x - 2)dx = x^3 + \frac{x^2}{2} - 2x \)
Вычислим определённый интеграл:
\[ \int_{-2}^{1} (3x^2 + x - 2)dx = F(1) - F(-2) = \left( 1^3 + \frac{1^2}{2} - 2\cdot1 \right) - \left( (-2)^3 + \frac{(-2)^2}{2} - 2\cdot(-2) \right) \]
\[ = \left( 1 + \frac{1}{2} - 2 \right) - \left( -8 + \frac{4}{2} + 4 \right) = \left( -\frac{1}{2} \right) - (-8 + 2 + 4) = -\frac{1}{2} - (-2) = -\frac{1}{2} + 2 = \frac{3}{2} \]
-
2. \( \int_{0}^{4} \frac{dx}{x^2 - 9} \)
Разложим знаменатель на множители: \( x^2 - 9 = (x-3)(x+3) \).
Используем метод разложения на простые дроби:
\( \frac{1}{(x-3)(x+3)} = \frac{A}{x-3} + \frac{B}{x+3} \)
\( 1 = A(x+3) + B(x-3) \)
При \( x = 3 \): \( 1 = A(6) \Rightarrow A = \frac{1}{6} \).
При \( x = -3 \): \( 1 = B(-6) \Rightarrow B = -\frac{1}{6} \).
\( \int \frac{dx}{x^2 - 9} = \frac{1}{6} \int \frac{dx}{x-3} - \frac{1}{6} \int \frac{dx}{x+3} = \frac{1}{6} \ln|x-3| - \frac{1}{6} \ln|x+3| = \frac{1}{6} \ln\left|\frac{x-3}{x+3}\right| \)
Вычислим определённый интеграл:
\( \int_{0}^{4} \frac{dx}{x^2 - 9} = \left[ \frac{1}{6} \ln\left|\frac{x-3}{x+3}\right| \right]_{0}^{4} = \frac{1}{6} \ln\left|\frac{4-3}{4+3}\right| - \frac{1}{6} \ln\left|\frac{0-3}{0+3}\right| \)
\[ = \frac{1}{6} \ln\left(\frac{1}{7}\right) - \frac{1}{6} \ln(1) = \frac{1}{6} \ln(7^{-1}) - 0 = -\frac{1}{6} \ln(7) \]
-
3. \( \int_{1}^{2} \frac{dx}{5x+1} \)
Найдём первообразную:
\( \int \frac{dx}{5x+1} = \frac{1}{5} \ln|5x+1| \)
Вычислим определённый интеграл:
\[ \int_{1}^{2} \frac{dx}{5x+1} = \left[ \frac{1}{5} \ln|5x+1| \right]_{1}^{2} = \frac{1}{5} \ln|5\cdot2+1| - \frac{1}{5} \ln|5\cdot1+1| \]
\[ = \frac{1}{5} \ln(11) - \frac{1}{5} \ln(6) = \frac{1}{5} \ln\left(\frac{11}{6}\right) \]
-
4. \( \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{\cos x}{\sin^3 x} dx \)
Сделаем замену переменной: \( u = \sin x \), тогда \( du = \cos x dx \).
Изменим пределы интегрирования:
При \( x = \frac{\pi}{6} \): \( u = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} \).
При \( x = \frac{\pi}{3} \): \( u = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
Интеграл примет вид:
\[ \int_{1/2}^{\sqrt{3}/2} \frac{du}{u^3} = \int_{1/2}^{\sqrt{3}/2} u^{-3} du \]
Найдём первообразную:
\[ F(u) = \frac{u^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2u^2} \]
Вычислим определённый интеграл:
\[ \left[ -\frac{1}{2u^2} \right]_{1/2}^{\sqrt{3}/2} = -\frac{1}{2(\sqrt{3}/2)^2} - \left( -\frac{1}{2(1/2)^2} \right) = -\frac{1}{2(3/4)} + \frac{1}{2(1/4)} \]
\[ = -\frac{1}{3/2} + \frac{1}{1/2} = -\frac{2}{3} + 2 = \frac{4}{3} \]
-
5. \( \int_{1}^{2} \frac{x^2}{(x^3+1)^2} dx \)
Сделаем замену переменной: \( u = x^3+1 \), тогда \( du = 3x^2 dx \) или \( x^2 dx = \frac{1}{3} du \).
Изменим пределы интегрирования:
При \( x = 1 \): \( u = 1^3+1 = 2 \).
При \( x = 2 \): \( u = 2^3+1 = 9 \).
Интеграл примет вид:
\[ \int_{2}^{9} \frac{1}{u^2} \cdot \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int_{2}^{9} u^{-2} du \]
Найдём первообразную:
\[ F(u) = \frac{u^{-1}}{-1} = -\frac{1}{u} \]
Вычислим определённый интеграл:
\[ \frac{1}{3} \left[ -\frac{1}{u} \right]_{2}^{9} = \frac{1}{3} \left( -\frac{1}{9} - \left( -\frac{1}{2} \right) \right) = \frac{1}{3} \left( -\frac{1}{9} + \frac{1}{2} \right) \]
\[ = \frac{1}{3} \left( -\frac{2}{18} + \frac{9}{18} \right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{7}{18} = \frac{7}{54} \]
-
6. \( \int_{0}^{1} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2} dx \)
Сделаем замену переменной: \( u = \sqrt{x} \), тогда \( x = u^2 \) и \( dx = 2u du \).
Изменим пределы интегрирования:
При \( x = 0 \): \( u = \sqrt{0} = 0 \).
При \( x = 1 \): \( u = \sqrt{1} = 1 \).
Интеграл примет вид:
\[ \int_{0}^{1} \frac{u}{u+2} \cdot 2u du = 2 \int_{0}^{1} \frac{u^2}{u+2} du \]
Выполним деление многочлена \( u^2 \) на \( u+2 \) столбиком или выделим полный квадрат:
\( \frac{u^2}{u+2} = \frac{u^2 - 4 + 4}{u+2} = \frac{(u-2)(u+2) + 4}{u+2} = u-2 + \frac{4}{u+2} \)
Интеграл станет:
\[ 2 \int_{0}^{1} \left( u - 2 + \frac{4}{u+2} \right) du \]
Найдём первообразную:
\[ 2 \left[ \frac{u^2}{2} - 2u + 4\ln|u+2| \right]_{0}^{1} \]
Вычислим определённый интеграл:
\[ 2 \left( \left( \frac{1^2}{2} - 2\cdot1 + 4\ln|1+2| \right) - \left( \frac{0^2}{2} - 2\cdot0 + 4\ln|0+2| \right) \right) \]
\[ = 2 \left( \left( \frac{1}{2} - 2 + 4\ln(3) \right) - (4\ln(2)) \right) = 2 \left( -\frac{3}{2} + 4\ln(3) - 4\ln(2) \right) \]
\[ = -3 + 8\ln(3) - 8\ln(2) = -3 + 8\ln\left(\frac{3}{2}\right) \]
-
7. \( \int_{0}^{5} \frac{dx}{\sqrt{x+4}(\sqrt{x+4}+3)} \)
Сделаем замену переменной: \( u = \sqrt{x+4} \), тогда \( u^2 = x+4 \) и \( 2u du = dx \).
Изменим пределы интегрирования:
При \( x = 0 \): \( u = \sqrt{0+4} = 2 \).
При \( x = 5 \): \( u = \sqrt{5+4} = 3 \).
Интеграл примет вид:
\[ \int_{2}^{3} \frac{2u du}{u(u+3)} = 2 \int_{2}^{3} \frac{du}{u+3} \]
Найдём первообразную:
\[ 2 \ln|u+3| \]
Вычислим определённый интеграл:
\[ 2 \left[ \ln|u+3| \right]_{2}^{3} = 2 \left( \ln|3+3| - \ln|2+3| \right) = 2 (\ln(6) - \ln(5)) = 2 \ln\left(\frac{6}{5}\right) \]
-
8*. \( \int_{0}^{\ln 5} \frac{e^x \sqrt{e^x - 1}}{e^x + 3} dx \)
Сделаем замену переменной: \( u = \sqrt{e^x - 1} \), тогда \( u^2 = e^x - 1 \), \( u^2 + 1 = e^x \), и \( 2u du = e^x dx \).
Изменим пределы интегрирования:
При \( x = 0 \): \( u = \sqrt{e^0 - 1} = \sqrt{1-1} = 0 \).
При \( x = \ln 5 \): \( u = \sqrt{e^{\ln 5} - 1} = \sqrt{5-1} = \sqrt{4} = 2 \).
Интеграл примет вид:
\[ \int_{0}^{2} \frac{u \cdot 2u du}{u^2 + 1 + 3} = \int_{0}^{2} \frac{2u^2}{u^2 + 4} du \]
Выделим полный квадрат:
\( \frac{2u^2}{u^2 + 4} = \frac{2(u^2 + 4) - 8}{u^2 + 4} = 2 - \frac{8}{u^2 + 4} \)
Интеграл станет:
\[ \int_{0}^{2} \left( 2 - \frac{8}{u^2 + 4} \right) du \]
Найдём первообразную:
\[ 2u - 8 \cdot \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{u}{2}\right) = 2u - 4\arctan\left(\frac{u}{2}\right) \]
Вычислим определённый интеграл:
\[ \left[ 2u - 4\arctan\left(\frac{u}{2}\right) \right]_{0}^{2} = \left( 2\cdot2 - 4\arctan\left(\frac{2}{2}\right) \right) - \left( 2\cdot0 - 4\arctan\left(\frac{0}{2}\right) \right) \]
\[ = (4 - 4\arctan(1)) - (0 - 0) = 4 - 4\cdot\frac{\pi}{4} = 4 - \pi \]
-
9. \( \int_{0}^{2} 3x \cdot 4^x dx \)
Интегрируем по частям дважды. Формула интегрирования по частям: \( \int u dv = uv - \int v du \).
Первое интегрирование по частям:
Пусть \( u = 3x \), \( dv = 4^x dx \).
Тогда \( du = 3 dx \), \( v = \int 4^x dx = \frac{4^x}{\ln 4} \).
\[ \int 3x \cdot 4^x dx = 3x \cdot \frac{4^x}{\ln 4} - \int \frac{4^x}{\ln 4} \cdot 3 dx = \frac{3x \cdot 4^x}{\ln 4} - \frac{3}{\ln 4} \int 4^x dx \]
\[ = \frac{3x \cdot 4^x}{\ln 4} - \frac{3}{\ln 4} \cdot \frac{4^x}{\ln 4} = \frac{3x \cdot 4^x}{\ln 4} - \frac{3 \cdot 4^x}{(\ln 4)^2} \]
Второе интегрирование по частям (для \( \int 4^x dx \)):
Пусть \( u = 4^x \), \( dv = dx \). Тогда \( du = 4^x \ln 4 dx \), \( v = x \).
\( \int 4^x dx = x \cdot 4^x - \int x \cdot 4^x \ln 4 dx \). Это не упрощает, поэтому нужно брать \( v = \frac{4^x}{\ln 4} \).
Правильная первообразная:
\[ \int 3x \cdot 4^x dx = \frac{3x \cdot 4^x}{\ln 4} - \frac{3}{\ln 4} \left( \frac{4^x}{\ln 4} \right) + C = \frac{3x \cdot 4^x}{\ln 4} - \frac{3 \cdot 4^x}{(\ln 4)^2} + C \]
Вычислим определённый интеграл:
\[ \left[ \frac{3x \cdot 4^x}{\ln 4} - \frac{3 \cdot 4^x}{(\ln 4)^2} \right]_{0}^{2} \]
\[ = \left( \frac{3\cdot2 \cdot 4^2}{\ln 4} - \frac{3 \cdot 4^2}{(\ln 4)^2} \right) - \left( \frac{3\cdot0 \cdot 4^0}{\ln 4} - \frac{3 \cdot 4^0}{(\ln 4)^2} \right) \]
\[ = \left( \frac{6 \cdot 16}{\ln 4} - \frac{3 \cdot 16}{(\ln 4)^2} \right) - \left( 0 - \frac{3}{(\ln 4)^2} \right) \]
\[ = \frac{96}{\ln 4} - \frac{48}{(\ln 4)^2} + \frac{3}{(\ln 4)^2} = \frac{96}{\ln 4} - \frac{45}{(\ln 4)^2} \]
Можно упростить, используя \( \ln 4 = \ln (2^2) = 2 \ln 2 \):
\[ = \frac{96}{2\ln 2} - \frac{45}{(2\ln 2)^2} = \frac{48}{\ln 2} - \frac{45}{4(\ln 2)^2} \]
Ответ: 1. 3/2; 2. -1/6 ln(7); 3. 1/5 ln(11/6); 4. 4/3; 5. 7/54; 6. -3 + 8 ln(3/2); 7. 2 ln(6/5); 8. 4 - pi; 9. 96/ln(4) - 45/(ln(4))^2
