1. Вычислить: \(72^{\frac{2}{3}}\)^{\(\frac{1}{2}\)} \(\cdot\) 36^{\(\frac{1}{2}\)} : 2^{\(\frac{4}{3}\)}

Решение:

Для вычисления выражения \( (72^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}} \cdot 36^{\frac{1}{2}} : 2^{\frac{4}{3}} \) выполним следующие действия:

1. Упростим первую часть выражения: \( (72^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}} = 72^{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}} = 72^{\frac{1}{3}} \)
2. Представим числа в виде простых множителей: \( 72 = 8 \cdot 9 = 2^3 \cdot 3^2 \) и \( 36 = 6^2 = (2 \cdot 3)^2 = 2^2 \cdot 3^2 \)
3. Подставим разложение в выражение: \( (2^3 \cdot 3^2)^{\frac{1}{3}} \cdot (2^2 \cdot 3^2)^{\frac{1}{2}} : 2^{\frac{4}{3}} \)
4. Применим свойства степеней: \( 2^{3 \cdot \frac{1}{3}} \cdot 3^{2 \cdot \frac{1}{3}} \cdot 2^{2 \cdot \frac{1}{2}} \cdot 3^{2 \cdot \frac{1}{2}} : 2^{\frac{4}{3}} \)
5. Упростим: \( 2^1 \cdot 3^{\frac{2}{3}} \cdot 2^1 \cdot 3^1 : 2^{\frac{4}{3}} \)
6. Сгруппируем основания: \( (2^1 \cdot 2^1) \cdot 3^{\frac{2}{3} + 1} : 2^{\frac{4}{3}} \)
7. Вычислим: \( 2^2 \cdot 3^{\frac{5}{3}} : 2^{\frac{4}{3}} \)
8. Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием: \( 2^{2 - \frac{4}{3}} \cdot 3^{\frac{5}{3}} \)
9. Вычислим показатель степени для основания 2: \( 2 - \frac{4}{3} = \frac{6}{3} - \frac{4}{3} = \frac{2}{3} \)
10. Итоговое выражение: \( 2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{5}{3}} \)

Ответ: \( 2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{5}{3}} \).