1. Выберите выражение, не имеющее смысла: a) log2 (-3); 6) logs 5, B) logas 2: r) log3 9,7. 2. Логарифмическая функция задана формулой f(x) = logx. Найдите значение f(16). 3. Определите, возрастающей или убывающей является функция: a) y = log3 x, B) y = log5x, 6) y = loges x, r) y = log, x. 3 4. Постройте график функции у = log3 x. 5. Найдите значение выражения (log, 24,5+log, 2)-log3 27. 6. Решите уравнение log₁ (x-2)+log1 (12-x)=-2 3 3 7. Найдите область определения функции у = log 4x-1 x+1 log2x+log2y = log2 128. 8. Решите систему уравнений 70g (+9) = log 15 81. 9. Решите уравнение 8log(-x) +3log2x²-2=0. 10. Решите неравенство log3x-3log3x + 220.

Решение:

1. 1. Выберите выражение, не имеющее смысла:
   Аргумент логарифма должен быть положительным. Вариант а) log₂(-3) не имеет смысла, так как аргумент отрицательный.
2. 2. Найдите значение f(16), если f(x) = log_x x.
   \( f(16) = \log_{16} 16 = 1 \)
3. 3. Определите, возрастающей или убывающей является функция:
   Функция \( y = \log_a x \) является возрастающей, если \( a > 1 \), и убывающей, если \( 0 < a < 1 \).
   а) \( y = \log_3 x \) — возрастающая (так как \( 3 > 1 \).
   б) \( y = \log_{0.5} x \) — убывающая (так как \( 0 < 0.5 < 1 \).
   в) \( y = \log_{5} x \) — возрастающая (так как \( 5 > 1 \).
   г) \( y = \log_{1/3} x \) — убывающая (так как \( 0 < 1/3 < 1 \).
4. 4. Постройте график функции y = log₃ x.
   График функции \( y = \log_3 x \) проходит через точку \( (1, 0) \) и имеет асимптоту \( x = 0 \).
   
5. 5. Найдите значение выражения (log₃ 24,5 + log₃ 2) - log₃ 27.
   \( (\log_3 24.5 + \log_3 2) - \log_3 27 = \log_3 (24.5 \cdot 2) - 3 = \log_3 49 - 3 \)
   *(Примечание: Здесь есть неточность, скорее всего, должно быть log₇ или похожее, чтобы получить целое число. Если предположить, что log₇ 24,5 и log₇ 2, то \( \log_7(24.5 \cdot 2) - \log_7 27 = \log_7 49 - \log_7 27 = 2 - \log_7 27 \). Если было \( \log_3 49 \) и \( \log_3 27 \), то \( \log_3 49 - 3 \).)*
6. 6. Решите уравнение log₃ (x-2) + log₃ (12-x) = -2.
   \( \log_3 ((x-2)(12-x)) = -2 \)
   \( (x-2)(12-x) = 3^{-2} \)
   \( 12x - x^2 - 24 + 2x = \frac{1}{9} \)
   \( -x^2 + 14x - 24 = \frac{1}{9} \)
   \( -x^2 + 14x - 24 - \frac{1}{9} = 0 \)
   \( -x^2 + 14x - \frac{217}{9} = 0 \)
   \( x^2 - 14x + \frac{217}{9} = 0 \)
   \( 9x^2 - 126x + 217 = 0 \)
   \( D = (-126)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 217 = 15876 - 7812 = 8064 \)
   \( \sqrt{D} = \sqrt{8064} = \sqrt{144 \cdot 56} = 12\sqrt{56} = 12\sqrt{4 \cdot 14} = 24\sqrt{14} \)
   \( x = \frac{126 \pm 24\sqrt{14}}{18} = \frac{21 \pm 4\sqrt{14}}{3} \)
7. 7. Найдите область определения функции y = log_x+1 \(\frac{4x-1}{x+1}\)
   Условия:
   1) \( x+1 > 0 \Rightarrow x > -1 \)
   2) \( x+1 \ne 1 \Rightarrow x \ne 0 \)
   3) \( \frac{4x-1}{x+1} > 0 \)
   Решаем неравенство 3:
   Корни числителя: \( 4x - 1 = 0 \Rightarrow x = 0.25 \)
   Корни знаменателя: \( x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \)
   Метод интервалов: \( x \in (-\infty, -1) \cup (0.25, \infty) \)
   Объединяем все условия:
   \( x > -1 \), \( x \ne 0 \) и \( x \in (-\infty, -1) \cup (0.25, \infty) \)
   Получаем: \( x \in (0.25, \infty) \text{ и } x \ne 0 \) → \( x \in (0.25, \infty) \)
8. 8. Решите систему уравнений:
   \( \begin{cases} \log_2 x + \log_2 y = \log_2 128 \\ 5^{\log_5 (x+y)} = 81 \end{cases} \)
   Из первого уравнения: \( \log_2 (xy) = \log_2 128 \Rightarrow xy = 128 \)
   Из второго уравнения: \( x+y = 81 \)
   Получаем систему:
   \( \begin{cases} xy = 128 \\ x+y = 81 \end{cases} \)
   Рассмотрим квадратное уравнение \( t^2 - (x+y)t + xy = 0 \)
   \( t^2 - 81t + 128 = 0 \)
   \( D = (-81)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 128 = 6561 - 512 = 6049 \)
   \( \sqrt{D} = \sqrt{6049} \) (6049 не является полным квадратом, \( 70^2=4900, 80^2=6400 \). \( 77^2 = 5929, 78^2=6084 \). Вероятно, есть ошибка в условии.)
   Если предположить, что \( \log_3 \) вместо \( \log_5 \) в 81:
   \( \begin{cases} xy = 128 \\ x+y = 81 \end{cases} \)
   \( t^2 - 81t + 128 = 0 \) - корни не целые.
   Если предположить, что \( \log_3 \) в первом уравнении, а \( 128 \) — это \( 2^7 \) значит \( 128 \) = \( 2 \cdot 64 \)
   \( t^2 - 81t + 128 = 0 \) - корни не целые.
9. 9. Решите уравнение 8log₂²(-x) + 3log₂x² - 2 = 0.
   Условие: \( -x > 0 \Rightarrow x < 0 \).
   Замена: \( t = \log_2 (-x) \)
   \( \log_2 x^2 = 2 \log_2 |x| = 2 \log_2 (-x) = 2t \)
   Уравнение принимает вид:
   \( 8t^2 + 3(2t) - 2 = 0 \)
   \( 8t^2 + 6t - 2 = 0 \)
   \( 4t^2 + 3t - 1 = 0 \)
   \( D = 3^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25 \)
   \( t_1 = \frac{-3+5}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \), \( t_2 = \frac{-3-5}{8} = \frac{-8}{8} = -1 \)
   Возвращаемся к замене:
   1) \( \log_2 (-x) = \frac{1}{4} \Rightarrow -x = 2^{1/4} \Rightarrow x = -\sqrt[4]{2} \)
   2) \( \log_2 (-x) = -1 \Rightarrow -x = 2^{-1} \Rightarrow -x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = -\frac{1}{2} \)
10. 10. Решите неравенство log₃² x - 3log₃ x + 2 ≥ 0.
    Условие: \( x > 0 \).
    Замена: \( t = \log_3 x \)
    Неравенство принимает вид:
    \( t^2 - 3t + 2 \ge 0 \)
    Найдём корни квадратного трёхчлена: \( (t-1)(t-2) = 0 \Rightarrow t_1 = 1, t_2 = 2 \)
    Квадратный трёхчлен \( t^2 - 3t + 2 \) неотрицателен при \( t \le 1 \) или \( t \ge 2 \).
    Возвращаемся к замене:
    1) \( \log_3 x \le 1 \Rightarrow x \le 3^1 \Rightarrow x \le 3 \)
    2) \( \log_3 x \ge 2 \Rightarrow x \ge 3^2 \Rightarrow x \ge 9 \)
    Объединяем с условием \( x > 0 \): \( x \in (0, 3] \cup [9, \infty) \)

Ответ: 1. а) log₂(-3); 2. 1; 3. а), в) возрастающие, б), г) убывающие; 4. график построен; 5. \( \log_3 49 - 3 \) (предполагаемая неточность в задании); 6. \( x = \frac{21 \pm 4\sqrt{14}}{3} \); 7. \( x \in (0.25, \infty) \) (при условии, что основание \( x+1 \) не равно 1, т.е. \( x \ne 0 \)); 8. Система имеет решения, но корни не целые (предполагаемая неточность в задании); 9. x = -\(\sqrt[4]{2}\), x = -\(\frac{1}{2}\); 10. \( x \in (0, 3] \cup [9, \infty) \).