1. Вершины треугольника ABC лежат на окружности с центром O, ∠AOC = 80°, ∠C : ∠A = 3 : 4. Найдите градусные меры дуг AB, AC, BC.

Решение:

1. Анализ условия: Вершины треугольника ABC лежат на окружности с центром O. Дано: \( \angle AOC = 80^{\circ} \) и отношение дуг \( \stackrel{\frown}{AC} : \stackrel{\frown}{AB} = 3:4 \). Нужно найти меры дуг \( \stackrel{\frown}{AB} \), \( \stackrel{\frown}{BC} \), \( \stackrel{\frown}{AC} \).
2. Нахождение меры дуги AC: Центральный угол \( \angle AOC \) равен мере дуги, на которую он опирается. Следовательно, \( \stackrel{\frown}{AC} = \angle AOC = 80^{\circ} \).
3. Нахождение мер других дуг: Пусть \( \stackrel{\frown}{BC} = 3x \) и \( \stackrel{\frown}{AB} = 4x \), так как \( \angle C : \angle A = 3:4 \), а вписанные углы, опирающиеся на эти дуги, равны \( \angle A \) и \( \angle C \) соответственно.
4. Полная окружность равна \( 360^{\circ} \). Значит, \( \stackrel{\frown}{AB} + \stackrel{\frown}{BC} + \stackrel{\frown}{AC} = 360^{\circ} \).
5. Подставляем известные значения: \( 4x + 3x + 80^{\circ} = 360^{\circ} \).
6. \( 7x = 360^{\circ} - 80^{\circ} \).
7. \( 7x = 280^{\circ} \).
8. \( x = \frac{280^{\circ}}{7} = 40^{\circ} \).
9. Вычисляем меры дуг:
10. \( \stackrel{\frown}{AB} = 4x = 4 \cdot 40^{\circ} = 160^{\circ} \).
11. \( \stackrel{\frown}{BC} = 3x = 3 \cdot 40^{\circ} = 120^{\circ} \).
12. \( \stackrel{\frown}{AC} = 80^{\circ} \) (уже найдено).
13. Проверка: \( 160^{\circ} + 120^{\circ} + 80^{\circ} = 360^{\circ} \).

Ответ: Мера дуги AB равна 160°, мера дуги BC равна 120°, мера дуги AC равна 80°.