1 вариант. 3. В прямом параллелепипеде стороны основания 3 см и 5 см., а одна из диагоналей основания 4 см. Найдите большую диагональ параллелепипеда, зная, что меньшая диагональ образует с плоскостью основания угол 60 °.

Решение:

Пусть стороны основания параллелепипеда равны \( a = 5 \) см и \( b = 3 \) см. Одна из диагоналей основания равна \( d_1 = 4 \) см.

Найдем вторую диагональ основания \( d_2 \) по теореме косинусов:

В параллелограмме квадрат диагонали равен сумме квадратов сторон минус удвоенное произведение сторон на косинус угла между ними. Рассмотрим два случая:

Случай 1: \( d_1 \) — диагональ, соединяющая вершины, между сторонами \( a \) и \( b \), угол которых \( α \).

\[ d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab α \]\[ 4^2 = 5^2 + 3^2 - 2 · 5 · 3 · · · \]\[ 16 = 25 + 9 - 30 · · · \]\[ 16 = 34 - 30 · · · \]\[ 30 · · · = 34 - 16 \]\[ 30 · · · = 18 \]\[ · · · = · · · \]\[ · · · = · · · \]

Случай 2: \( d_1 \) — диагональ, соединяющая вершины, между сторонами \( a \) и \( b \), угол которых \( 180^\circ - α \).

\[ d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab · · · \]\[ 4^2 = 5^2 + 3^2 - 2 · 5 · 3 · · · \]\[ 16 = 25 + 9 - 30 · · · \]\[ 16 = 34 - 30 · · · \]\[ 30 · · · = 34 - 16 \]\[ 30 · · · = 18 \]\[ · · · = · · · \]

Противоположные углы в параллелограмме равны, и сумма углов равна 360°.

Углы, прилежащие к одной стороне, в сумме дают 180°.

Рассмотрим другую диагональ основания \( d_2 \):

\[ d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab · · · \]\[ d_2^2 = 5^2 + 3^2 - 2 · 5 · 3 · · · \]\[ d_2^2 = 25 + 9 - 30 · · · \]\[ d_2^2 = 34 - 18 \]\[ d_2^2 = 16 \]\[ d_2 = 4 \] см.

Заметим, что по условию одна из диагоналей основания равна 4 см. Это значит, что другая диагональ основания может быть другой.

Переформулируем задачу: стороны основания 5 см и 3 см, одна диагональ 4 см. Найдем вторую диагональ.

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон:

\[ d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2) \]\[ 4^2 + d_2^2 = 2(5^2 + 3^2) \]\[ 16 + d_2^2 = 2(25 + 9) \]\[ 16 + d_2^2 = 2(34) \]\[ 16 + d_2^2 = 68 \]\[ d_2^2 = 68 - 16 \]\[ d_2^2 = 52 \]\[ d_2 = · · · · · \]

Таким образом, диагонали основания равны 4 см и \( · · · \) см.

Меньшая диагональ основания образует с плоскостью основания угол 60°.

Пусть меньшая диагональ основания — \( d_m = 4 \) см.

Пусть \( D \) — большая диагональ параллелепипеда, \( h \) — высота параллелепипеда.

В прямоугольном треугольнике, образованном меньшей диагональю основания, высотой параллелепипеда и меньшей диагональю параллелепипеда, угол между диагональю основания и диагональю параллелепипеда равен 60°.

\[ · · · = · · · · · · · · \]\[ · · · = · · · · · · · · \]

Значит, высота параллелепипеда \( h \) равна:

\[ h = d_m · · · · · \]\[ h = 4 · · · \]\[ h = · · · \] см.

Большая диагональ параллелепипеда \( D \) находится по теореме Пифагора:

\[ D^2 = d_2^2 + h^2 \]

У нас две диагонали основания: \( d_1 = 4 \) и \( d_2 = · · · \).

Так как \( d_2^2 = 52 \), то \( d_2 = · · · \).

Угол 60° дан для меньшей диагонали основания. Из \( d_1 \) и \( d_2 \) выбираем меньшую. \( 4 < · · · \). Значит, \( d_m = 4 \) см.

Высота \( h \) равна:

\[ h = d_m · · · \]\[ h = 4 · · · \]\[ h = · · · \] см.

Тогда большая диагональ параллелепипеда \( D \):

\[ D^2 = d_2^2 + h^2 \]\[ D^2 = 52 + (· · ·)^2 \]

Если бы меньшая диагональ была \( d_2 = · · · \), то \( h \) искали бы по \( d_2 \), а \( D \) по \( d_1 \).

Проверим условие: 60°. Если \( · · · = · · · \), то \( h = · · · \).

Если \( · · · = · · · \), то \( h = · · · \).

В случае, когда \( d_m = 4 \), \( h = 4 · · · \).

Тогда \( D^2 = (· · ·)^2 + (4 · · ·)^2 \).

В случае, когда \( d_m = · · · \), \( h = · · · · · \).

Тогда \( D^2 = 4^2 + (· · ·)^2 \).

Рассмотрим рисунок. Основание — параллелограмм. Диагонали 4 и \( · · · \). Меньшая диагональ 4. Угол между ней и плоскостью основания 60°.

Высота \( h \) найдена как \( h = d_m · · · \) = \( 4 · · · \) = \( · · · \).

Большая диагональ параллелепипеда \( D \) находим по теореме Пифагора: \( D^2 = d_2^2 + h^2 \), где \( d_2 \) — большая диагональ основания.

\( d_2^2 = 52 \).

\[ D^2 = 52 + (· · ·)^2 \]

Нам нужно найти большую диагональ параллелепипеда.

Рассмотрим треугольник, образованный большей диагональю основания \( d_2 \), высотой \( h \) и большей диагональю параллелепипеда \( D \).

\[ D^2 = d_2^2 + h^2 \]

Нам известна меньшая диагональ основания \( d_m = 4 \) и угол между ней и основанием \( · · · \).

\( · · · = · · · · · \)

\( h = d_m · · · \)

\( h = 4 · · · \)

\( h = · · · \)

Теперь найдем \( d_2 \). \( d_2^2 = 52 \), \( d_2 = · · · \).

\( D^2 = 52 + (· · ·)^2 \)

\( D^2 = 52 + (· · ·)^2 \)

\( D^2 = 52 + · · · \)

\( D^2 = · · · \)

\( D = · · · \)

Ответ: \( · · · \).