1 вариант. 1. Найдите четырнадцатый член и сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии (а), если а₁=2 и а₂=5. 2. Найдите пятый член геометрической прогрессии (bn), если b₁=27, а знаменатель q=1/3. 3. Найдите номер члена арифметической прогрессии (ад), равного 7.3. если а₁=10.3, а разность прогрессии d=-0.5. 4. Какие два числа надо вставить между числами 2.5 и 20, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию? 5. При каком значении х значения выражений 2х+6, х+7 и х+4 будут последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии. 6. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 6, которые больше 100 и меньше 200. 7*. Найдите сумму восемнадцати первый член арифметической прогрессии (ап), если а₁₁ - а₃ - а₈ = 27 и а₆ + а₁₄ = 86.

Решение:

1. 1.1. Арифметическая прогрессия:
   • Разность прогрессии d = a₂ - a₁ = 5 - 2 = 3.
   • Четырнадцатый член прогрессии: a₁₄ = a₁ + (14 - 1)d = 2 + 13 ⋅ 3 = 2 + 39 = 41.
   • Сумма двадцати первых членов: S₂₀ = (2a₁ + (20 - 1)d) / 2 ⋅ 20 = (2 ⋅ 2 + 19 ⋅ 3) / 2 ⋅ 20 = (4 + 57) / 2 ⋅ 20 = 61 / 2 ⋅ 20 = 610.
2. 1.2. Геометрическая прогрессия:
   • Пятый член прогрессии: b₅ = b₁ ⋅ q⁴ = 27 ⋅ (1/3)⁴ = 27 ⋅ (1/81) = 27/81 = 1/3.
3. 1.3. Арифметическая прогрессия:
   • Номер члена: a<0xE2><0x82><0x99> = a₁ + (n - 1)d.
   • 7.3 = 10.3 + (n - 1)(-0.5)
   • 7.3 - 10.3 = (n - 1)(-0.5)
   • -3 = (n - 1)(-0.5)
   • 3 / 0.5 = n - 1
   • 6 = n - 1
   • n = 7.
4. 1.4. Геометрическая прогрессия:
   • Пусть искомые числа x и y. Тогда 2.5, x, y, 20 образуют геометрическую прогрессию.
   • x / 2.5 = y / x = 20 / y.
   • Из x / 2.5 = 20 / y следует xy = 2.5 ⋅ 20 = 50.
   • Из y / x = 20 / y следует y² = 20x.
   • Из x / 2.5 = y / x следует x² = 2.5y.
   • Подставим y = 50/x в y² = 20x: (50/x)² = 20x => 2500/x² = 20x => 2500 = 20x³ => x³ = 2500/20 = 125 => x = 5.
   • Тогда y = 50/x = 50/5 = 10.
   • Проверка: 2.5, 5, 10, 20. Отношение 5/2.5=2, 10/5=2, 20/10=2.
5. 1.5. Геометрическая прогрессия:
   • (2x+6), (x+7), (x+4) — члены геометрической прогрессии.
   • (x+7)² = (2x+6)(x+4)
   • x² + 14x + 49 = 2x² + 8x + 6x + 24
   • x² + 14x + 49 = 2x² + 14x + 24
   • x² = 25
   • x = 5 или x = -5.
   • Если x = 5: 2(5)+6 = 16, 5+7 = 12, 5+4 = 9. Прогрессия: 16, 12, 9. Знаменатель q = 12/16 = 3/4. 9/12 = 3/4.
   • Если x = -5: 2(-5)+6 = -4, -5+7 = 2, -5+4 = -1. Прогрессия: -4, 2, -1. Знаменатель q = 2/(-4) = -1/2. -1/2 = -1/2.
6. 1.6. Сумма натуральных чисел:
   • Ищем сумму чисел, кратных 6, от 101 до 199.
   • Первое число: 102 (6 ⋅ 17).
   • Последнее число: 198 (6 ⋅ 33).
   • Количество членов: 33 - 17 + 1 = 17.
   • Сумма: S = (102 + 198) / 2 ⋅ 17 = 300 / 2 ⋅ 17 = 150 ⋅ 17 = 2550.
7. 1.7. Арифметическая прогрессия:
   • a₁₁ - a₃ - a₈ = 27 => (a₁ + 10d) - (a₁ + 2d) - (a₁ + 7d) = 27 => a₁ + 10d - a₁ - 2d - a₁ - 7d = 27 => -a₁ + d = 27 => a₁ = d - 27.
   • a₆ + a₁₄ = 86 => (a₁ + 5d) + (a₁ + 13d) = 86 => 2a₁ + 18d = 86 => a₁ + 9d = 43.
   • Подставим a₁ = d - 27 во второе уравнение: (d - 27) + 9d = 43 => 10d = 70 => d = 7.
   • a₁ = d - 27 = 7 - 27 = -20.
   • Сумма восемнадцати членов: S₁₈ = (2a₁ + (18 - 1)d) / 2 ⋅ 18 = (2(-20) + 17 ⋅ 7) / 2 ⋅ 18 = (-40 + 119) / 2 ⋅ 18 = 79 / 2 ⋅ 18 = 79 ⋅ 9 = 711.

Ответ: 1.1. a₁₄=41, S₂₀=610. 1.2. b₅=1/3. 1.3. n=7. 1.4. 5 и 10. 1.5. x=5: 16, 12, 9; x=-5: -4, 2, -1. 1.6. 2550. 1.7. S₁₈=711.