1. В зрительном зале расставили стулья в 25 рядов, по 10 в каждом из них. Стулья пронумерованы: сначала от 1 до 10 в первом ряду, потом от 11 до 20 во втором ряду и так далее. Зрителям выдали билеты на спектакль с указанием номера стула. В перерыве решили сделать 25 рядов по 13 стульев в каждом и пронумеровать: сначала от 1 до 13 в первом ряду, потом от 14 до 26 во втором и так далее; зрители сели согласно указанным в билете номерам. Сколько зрителей теперь оказалось в том же ряду, что первоначально?

Решение:

Первоначально в каждом ряду было по 10 стульев. Номера стульев в ряду располагались так: 1-10, 11-20, 21-30 и т.д.

После перерыва в каждом ряду стало по 13 стульев. Номера стульев в ряду располагаются так: 1-13, 14-26, 27-39 и т.д.

Посмотрим, как изменилось расположение стульев:

1. Ряд 1: номера 1-10 (было) → 1-13 (стало). Все зрители остались в 1-м ряду.
2. Ряд 2: номера 11-20 (было) → 14-26 (стало). Все зрители остались во 2-м ряду.
3. Ряд 3: номера 21-30 (было). В новом расположении стулья с номерами 27-39 находятся в 3-м ряду. Стулья с номерами 21-26 были во 2-м ряду, а после перерыва стали в 3-м.
4. Ряд 4: номера 31-40 (было). Стулья с номерами 27-39 оказались в 3-м ряду, а с 40-го номера будут дальше.

Рассмотрим, как номер стула связан с номером ряда:

До перерыва: Номер ряда = \( \lceil \frac{Номер стула}{10} \rceil \)

После перерыва: Номер ряда = \( \lceil \frac{Номер стула}{13} \rceil \)

Зрители окажутся в том же ряду, если номер ряда останется прежним. Нам нужно найти, сколько зрителей, сидевших в одном ряду, окажутся в том же ряду после перерыва.

Рассмотрим пример:

• Зритель с билетом № 1: \( \lceil \frac{1}{10} \rceil = 1 \) (был в 1-м ряду). \( \lceil \frac{1}{13} \rceil = 1 \) (остался в 1-м ряду).
• Зритель с билетом № 10: \( \lceil \frac{10}{10} \rceil = 1 \) (был в 1-м ряду). \( \lceil \frac{10}{13} \rceil = 1 \) (остался в 1-м ряду).
• Зритель с билетом № 11: \( \lceil \frac{11}{10} \rceil = 2 \) (был во 2-м ряду). \( \lceil \frac{11}{13} \rceil = 1 \) (перешел в 1-й ряд).
• Зритель с билетом № 13: \( \lceil \frac{13}{10} \rceil = 2 \) (был во 2-м ряду). \( \lceil \frac{13}{13} \rceil = 1 \) (перешел в 1-й ряд).
• Зритель с билетом № 14: \( \lceil \frac{14}{10} \rceil = 2 \) (был во 2-м ряду). \( \lceil \frac{14}{13} \rceil = 2 \) (остался во 2-м ряду).
• Зритель с билетом № 20: \( \lceil \frac{20}{10} \rceil = 2 \) (был во 2-м ряду). \( \lceil \frac{20}{13} \rceil = 2 \) (остался во 2-м ряду).
• Зритель с билетом № 21: \( \lceil \frac{21}{10} \rceil = 3 \) (был в 3-м ряду). \( \lceil \frac{21}{13} \rceil = 2 \) (перешел во 2-й ряд).

Стулья, номера которых меньше или равны 10, останутся в 1-м ряду. Это 10 зрителей.

Стулья, номера которых находятся в диапазоне от 11 до 20, были во 2-м ряду. После перерыва стулья с номерами от 14 до 26 будут во 2-м ряду. Следовательно, зрители с билетами с 14 по 20 номер окажутся во 2-м ряду. Это 20 - 14 + 1 = 7 зрителей.

Стулья, номера которых находятся в диапазоне от 21 до 30, были в 3-м ряду. После перерыва стулья с номерами от 27 до 39 будут в 3-м ряду. Зрители с билетами с 27 по 30 номер окажутся в 3-м ряду. Это 30 - 27 + 1 = 4 зрителя.

Стулья, номера которых находятся в диапазоне от 31 до 40, были в 4-м ряду. После перерыва стулья с номерами от 27 до 39 будут в 3-м ряду. Стулья с номерами от 40 и выше будут в 4-м ряду. Зритель с билетом № 40 останется в 4-м ряду. Это 1 зритель.

Суммируем количество зрителей, оставшихся в том же ряду:

1-й ряд: 10 зрителей (номера 1-10).

2-й ряд: 7 зрителей (номера 14-20).

3-й ряд: 4 зрителя (номера 27-30).

4-й ряд: 1 зритель (номер 40).

Общее количество зрителей, оказавшихся в том же ряду = 10 + 7 + 4 + 1 = 22.

Альтернативный подход:

Оригинальное расположение рядов: \( [1,10], [11,20], [21,30], \dots \)

Новое расположение рядов: \( [1,13], [14,26], [27,39], \dots \)

Зрители, которые изначально были в ряду \( k \) (то есть их номера стульев были \( 10(k-1)+1 \) до \( 10k \)), останутся в ряду \( k \) если их новые номера стульев также будут в ряду \( k \) по новой нумерации.

Новая нумерация ряда \( k \) — это стулья с номерами от \( 13(k-1)+1 \) до \( 13k \).

Нам нужно найти пересечение интервалов \( [10(k-1)+1, 10k] \) и \( [13(k-1)+1, 13k] \) для \( k \) от 1 до 25.

Для k = 1: \( [1, 10] \) и \( [1, 13] \). Пересечение: \( [1, 10] \). Количество: 10.

Для k = 2: \( [11, 20] \) и \( [14, 26] \). Пересечение: \( [14, 20] \). Количество: \( 20 - 14 + 1 = 7 \).

Для k = 3: \( [21, 30] \) и \( [27, 39] \). Пересечение: \( [27, 30] \). Количество: \( 30 - 27 + 1 = 4 \).

Для k = 4: \( [31, 40] \) и \( [40, 52] \). Пересечение: \( [40, 40] \). Количество: 1.

Для k = 5: \( [41, 50] \) и \( [53, 65] \). Пересечение: пустое. Количество: 0.

Для \( k \ge 5 \) интервалы не пересекаются, так как \( 13(k-1)+1 \) растет быстрее, чем \( 10k \).

Общее количество зрителей: 10 + 7 + 4 + 1 = 22.

Ответ: 22