1. В треугольнике АВС АB < BC < AC. Найдите ∠A, ZB, ZC, если известно, что один из углов треугольника прямой, а другой равен 30°.

Решение:

В треугольнике ABC стороны AB < BC < AC. Это означает, что углы, противолежащие этим сторонам, также соотносятся в том же порядке: \( \angle C < \angle A < \angle B \).

Из условия известно, что один из углов треугольника прямой (\( 90° \)), а другой равен \( 30° \).

Рассмотрим возможные случаи:

1. Если \( \angle A = 90° \), то \( \angle B \) и \( \angle C \) должны быть меньше \( 90° \). Сумма углов треугольника равна \( 180° \). \( \angle B + \angle C = 180° - 90° = 90° \). В этом случае \( \angle B > \angle C \). Однако, согласно условию \( AB < BC < AC \) следует \( \angle C < \angle A < \angle B \). Если \( \angle A = 90° \), то \( \angle C < 90° < \angle B \), что невозможно, так как \( \angle B \) тоже должен быть меньше \( 90° \).
2. Если \( \angle B = 90° \), то \( \angle C < \angle A < 90° \). \( \angle A + \angle C = 180° - 90° = 90° \). Пусть \( \angle C = 30° \). Тогда \( \angle A = 90° - 30° = 60° \). Проверим условие \( \angle C < \angle A < \angle B \): \( 30° < 60° < 90° \). Это условие выполняется.
3. Если \( \angle C = 90° \), то \( \angle A \) и \( \angle B \) должны быть меньше \( 90° \). Но условие \( \angle C < \angle A < \angle B \) означает, что \( \angle C \) — наименьший угол, что противоречит \( \angle C = 90° \).

Таким образом, единственный возможный вариант:

\( \angle B = 90° \), \( \angle C = 30° \), \( \angle A = 60° \).

Проверим условие сторон: \( AB < BC < AC \) соответствует \( \angle C < \angle A < \angle B \), что верно: \( 30° < 60° < 90° \).

Ответ: \( \angle A = 60°, \angle B = 90°, \angle C = 30° \).