1. В треугольнике АВС <A=100°, <C=40°. А) Докажите, что треугольник АВС – равнобедренный и укажите его боковые стороны. Б) Отрезок СК – биссектриса данного треугольника. Найдите углы, которые она образует со стороной АВ. 2. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О. которая является серединой каждого из них. А) Докажите, что треугольник AOD равен треугольнику ВОС. Б) Найдите <ОВС, если <ODA=40°, <BOC=95°. 3. В равнобедренном треугольнике с периметром 80 см одна из сторон равна 20 см. Найдите длину основания треугольника.

Задание 1

Дано: Треугольник АВС, \( ∠A = 100^\circ \), \( ∠C = 40^\circ \).

А) Докажите, что треугольник АВС – равнобедренный и укажите его боковые стороны.

Решение:

1. Сначала найдем третий угол треугольника, \( ∠B \). Сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \).
2. \( ∠B = 180^\circ - ∠A - ∠C \)
3. \( ∠B = 180^\circ - 100^\circ - 40^\circ = 40^\circ \)
4. Поскольку \( ∠B = ∠C = 40^\circ \), то треугольник АВС является равнобедренным.
5. Боковые стороны равнобедренного треугольника – это стороны, лежащие напротив равных углов. В данном случае это стороны АВ и АС.

Ответ: Треугольник АВС равнобедренный. Боковые стороны – АВ и АС.

Б) Отрезок СК – биссектриса данного треугольника. Найдите углы, которые она образует со стороной АВ.

Решение:

1. Так как СК – биссектриса, она делит угол С пополам:
2. \( ∠SCK = ∠KCA = ∠C / 2 = 40^\circ / 2 = 20^\circ \)
3. Рассмотрим треугольник СКВ. Мы знаем \( ∠B = 40^\circ \) и \( ∠SCK = 20^\circ \).
4. Найдем угол СКВ. Сумма углов треугольника СКВ равна \( 180^\circ \):
5. \( ∠CKB = 180^\circ - ∠B - ∠SCK = 180^\circ - 40^\circ - 20^\circ = 120^\circ \)
6. Угол СКВ и угол СКА – смежные, их сумма равна \( 180^\circ \).
7. \( ∠SKA = 180^\circ - ∠CKB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \)
8. Углы, которые биссектриса СК образует со стороной АВ, это углы \( ∠SKA \) и \( ∠SKB \).

Ответ: Углы \( ∠SKA = 60^\circ \) и \( ∠SKB = 120^\circ \).

Задание 2

Дано: Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О. О – середина АВ и CD.

А) Докажите, что треугольник AOD равен треугольнику ВОС.

Решение:

1. Рассмотрим треугольники AOD и ВОС.
2. По условию, О – середина АВ, значит \( AO = OB \).
3. По условию, О – середина CD, значит \( DO = OC \).
4. Углы \( ∠AOD \) и \( ∠BOC \) вертикальные, следовательно, \( ∠AOD = ∠BOC \).
5. По двум сторонам и углу между ними (второе признак равенства треугольников), треугольник AOD равен треугольнику ВОС.

Б) Найдите <ОВС, если

Решение:

1. Из пункта А мы знаем, что \( ∠AOD = ∠BOC = 95^\circ \).
2. Также из пункта А мы знаем, что \( ∠ODA = 40^\circ \).
3. Рассмотрим треугольник AOD. Сумма углов в нем \( 180^\circ \):
4. \( ∠OAD = 180^\circ - ∠AOD - ∠ODA = 180^\circ - 95^\circ - 40^\circ = 45^\circ \)
5. Так как треугольники AOD и ВОС равны, то соответствующие углы равны.
6. \( ∠OAD = ∠OBC \)

Ответ: \( ∠OBC = 45^\circ \).

Задание 3

Дано: Равнобедренный треугольник, периметр \( P = 80 \) см. Одна из сторон равна 20 см.

Найти: Длину основания треугольника.

Решение:

В равнобедренном треугольнике могут быть два случая:

1. Случай 1: Основание равно 20 см.
• Тогда две другие боковые стороны равны: \( (80 - 20) / 2 = 60 / 2 = 30 \) см.
• Проверка: \( 20 + 30 + 30 = 80 \) см. Это возможно.
2. Случай 2: Боковая сторона равна 20 см.
• Тогда две боковые стороны в сумме равны \( 20 + 20 = 40 \) см.
• Основание равно: \( 80 - 40 = 40 \) см.
• Проверка: \( 20 + 20 + 40 = 80 \) см. Это также возможно.
3. В условии сказано, что «одна из сторон равна 20 см». Треугольник равнобедренный, поэтому основание может быть 40 см, а боковые стороны по 20 см. Либо основание может быть 20 см, а боковые стороны по 30 см.
4. Однако, в равнобедренном треугольнике основание не может быть больше суммы боковых сторон. В первом случае 20 < 30+30, что верно. Во втором случае 40 = 20+20, что является вырожденным треугольником (лежит на одной прямой). Обычно в задачах подразумевается невырожденный треугольник.
5. Если задача предполагает невырожденный треугольник, то основание не может быть равно 40 см.

Ответ: Основание треугольника может быть 20 см или 40 см. Если треугольник невырожденный, то основание равно 20 см.