1. В треугольнике ABC BD — медиана, угол BDC прямой. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

Решение:

Дано: \( \triangle ABC \), \( BD \) — медиана, \( \angle BDC = 90^{\circ} \).

Доказать: \( \triangle ABC \) — равнобедренный.

1. Так как \( BD \) — медиана, то \( AD = DC \).
2. Рассмотрим \( \triangle BDC \). \( BD \) является высотой (так как \( \angle BDC = 90^{\circ} \)) и медианой (так как \( AD = DC \), и \( D \) лежит на \( AC \)).
3. В треугольнике, если медиана, проведенная к стороне, является также высотой, то этот треугольник является равнобедренным. Следовательно, \( \triangle BDC \) — равнобедренный, а значит \( BD = DC \).
4. Так как \( AD = DC \) (из п. 1) и \( BD = DC \) (из п. 3), то \( AD = BD = DC \).
5. Рассмотрим \( \triangle ABD \). Так как \( AD = BD \) (из п. 4), то \( \triangle ABD \) — равнобедренный. Следовательно, \( \angle BAD = \angle ABD \).
6. Рассмотрим \( \triangle ABC \):
• \( \angle ABC = \angle ABD + \angle DBC \).
• В равнобедренном \( \triangle BDC \) (из п. 3) \( \angle DBC = \angle DCB \) (углы при основании \( BC \), так как \( BD = DC \)).
• Так как \( \angle BAD \) (или \( \angle BAC \)) равно \( \angle ABD \) (из п. 5), и \( \angle DCB \) (или \( \angle BCA \)) равно \( \angle DBC \) (из п. 3), то \( \angle BAC = \angle BCA \).
• Следовательно, \( \triangle ABC \) — равнобедренный (по равенству углов при основании \( AC \)).

Доказано.