1. В треугольник вписана окружность так, что три из шести получившихся отрезков касательных равны 3 см, 4 см и 5 см. Найдите периметр треугольника.

Решение:

Отрезки касательных, проведённых из одной вершины треугольника к вписанной окружности, равны между собой. Пусть стороны треугольника равны \( a \), \( b \) и \( c \). Тогда отрезки касательных от вершин будут равны \( x, y, z \).

Имеем: \( a = y + z \), \( b = x + z \), \( c = x + y \).

Нам даны длины отрезков касательных: 3 см, 4 см и 5 см. То есть, \( x, y, z \) — это 3, 4, 5 в каком-то порядке.

Периметр треугольника \( P = a + b + c = (y + z) + (x + z) + (x + y) = 2x + 2y + 2z = 2(x + y + z) \).

Сумма длин отрезков касательных равна \( 3 + 4 + 5 = 12 \) см.

Тогда периметр треугольника равен \( P = 2 \cdot 12 = 24 \) см.

Ответ: 24 см.