1. В равнобедренном треугольнике АВС угол В - тупой. Высота BD равна 4 см. Найдите периметр треугольника АВС, если периметр треугольника ABD равен 12 см. 2. В треугольнике АВС внешние углы при вершинах А и С равны. Найдите длину биссектрисы BD, если периметр треугольника АВС равен 72 см, а периметр треугольника ABD равен 48 см.

Решение:

Задача 1:

В равнобедренном треугольнике ABC, где угол B тупой, высота BD = 4 см. Периметр треугольника ABD = 12 см.

1. Периметр треугольника ABD равен AB + BD + AD = 12 см. Так как AB — боковая сторона, а BD — высота, то AD = AB.

2. Тогда AB + 4 + AB = 12, что дает 2AB = 8, следовательно, AB = 4 см.

3. В равнобедренном треугольнике ABC, AB = BC. Следовательно, BC = 4 см.

4. Периметр треугольника ABC равен AB + BC + AC. AC = AD + DC. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Однако, в данном случае, BD - высота, а не медиана к основанию AC, так как угол B тупой.

5. Из условия задачи, периметр ABD = 12 см, где AB + BD + AD = 12. Так как AB = BC (равнобедренный треугольник) и BD — высота, то в треугольнике ADB: AB - гипотенуза, BD - катет, AD - катет. По теореме Пифагора: AB^2 = BD^2 + AD^2.

6. Подставим значения: AB + 4 + AD = 12.

7. Из условия, треугольник ABC равнобедренный. Если угол B тупой, то основанием может быть AC. Тогда AB = BC.

8. Рассмотрим треугольник ABD. AB + BD + AD = 12. AB + 4 + AD = 12. AB + AD = 8.

9. В равнобедренном треугольнике ABC с тупым углом B, BD является высотой к основанию AC. Это возможно, если угол B тупой. В этом случае, треугольник ABD — прямоугольный, с гипотенузой AB.

10. AB = BC. Из периметра ABD = 12, AB + 4 + AD = 12 => AB + AD = 8.

11. Если AC - основание, то AD = DC. Тогда AC = 2AD.

12. Периметр ABC = AB + BC + AC = AB + AB + 2AD = 2AB + 2AD = 2(AB + AD) = 2 * 8 = 16 см.

Задача 2:

В треугольнике ABC внешние углы при вершинах A и C равны. Это означает, что внутренние углы A и C равны. Следовательно, треугольник ABC равнобедренный с AB = BC. Периметр ABC = 72 см. Периметр ABD = 48 см. BD — биссектриса.

1. Так как внешние углы при A и C равны, то внутренние углы A и C равны. Треугольник ABC равнобедренный, AB = BC.

2. Периметр ABC = AB + BC + AC = 72 см. Так как AB = BC, то 2AB + AC = 72.

3. BD — биссектриса угла B. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является также медианой и высотой. Значит, BD является медианой, и AD = DC. Следовательно, AC = 2AD.

4. Периметр ABD = AB + BD + AD = 48 см.

5. Подставим AC = 2AD в уравнение периметра ABC: 2AB + 2AD = 72, что упрощается до AB + AD = 36.

6. Теперь у нас есть система уравнений:

• AB + BD + AD = 48
• AB + AD = 36

7. Вычитая второе уравнение из первого, получаем: (AB + BD + AD) - (AB + AD) = 48 - 36, что дает BD = 12 см.

8. Длина биссектрисы BD равна 12 см.

Ответ: 1. 16 см; 2. 12 см.