1. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АВ угол С в 4 раза меньше угла А. Найдите величину внешнего угла при вершине В. Ответ дайте в градусах. Запишите решение и ответ. 2. Сторона ВС треугольника АВС продолжена за точку В. На продолжении отмечена точка D так, что АВ = DB. Найдите величину угла BAD, если угол АСВ равен 80°, а угол ВАС равен 28°. Ответ дайте в градусах. Запишите решение и ответ. 3. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С проведена высота CD. Найдите величину угла В, если DA = 4, а AC = 8. Ответ дайте в градусах. Запишите решение и ответ. 4. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АВ угол С в 8 раз больше угла А. Найдите величину внешнего угла при вершине В. Ответ дайте в градусах. Запишите решение и ответ.

Задание 1

Дано: Треугольник ABC, равнобедренный с основанием AB. \( \angle C = \frac{1}{4} \angle A \).

Найти: Величина внешнего угла при вершине B.

Решение:

1. Так как треугольник равнобедренный с основанием AB, то \( \angle A = \angle B \).
2. Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \).
3. Подставим \( \angle C = \frac{1}{4} \angle A \) и \( \angle B = \angle A \) в уравнение: \[ \angle A + \angle A + \frac{1}{4} \angle A = 180^\circ \]
4. Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{4 \angle A + 4 \angle A + \angle A}{4} = 180^\circ \]
5. \( \frac{9 \angle A}{4} = 180^\circ \)
6. \( \angle A = \frac{180^\circ \cdot 4}{9} = 20^\circ \cdot 4 = 80^\circ \).
7. Значит, \( \angle B = 80^\circ \).
8. Внешний угол при вершине B равен \( 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ \).

Ответ: 100.

Задание 2

Дано: Треугольник ABC. BC продолжена до точки D. \( AB = DB \). \( \angle ACB = 80^\circ \), \( \angle BAC = 28^\circ \).

Найти: \( \angle BAD \).

Решение:

1. В треугольнике ABC, \( \angle ABC = 180^\circ - \angle BAC - \angle ACB = 180^\circ - 28^\circ - 80^\circ = 72^\circ \).
2. Так как \( AB = DB \), треугольник ABD равнобедренный.
3. \( \angle ABC \) и \( \angle ABD \) — смежные углы, поэтому \( \angle ABD = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ \).
4. В равнобедренном треугольнике ABD, \( \angle BAD = \angle BDA = \frac{180^\circ - \angle ABD}{2} = \frac{180^\circ - 108^\circ}{2} = \frac{72^\circ}{2} = 36^\circ \).

Ответ: 36.

Задание 3

Дано: Прямоугольный треугольник ABC, \( \angle C = 90^\circ \). CD — высота. \( DA = 4 \), \( AC = 8 \).

Найти: \( \angle B \).

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике ADC, \( \text{sin}(\angle A) = \frac{CD}{AC} \) и \( \text{cos}(\angle A) = \frac{DA}{AC} \).
2. Из \( \text{cos}(\angle A) = \frac{DA}{AC} = \frac{4}{8} = 0.5 \).
3. Следовательно, \( \angle A = 60^\circ \).
4. В прямоугольном треугольнике ABC, \( \angle B = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \).

Ответ: 30.

Задание 4

Дано: Треугольник ABC, равнобедренный с основанием AB. \( \angle C = 8 \angle A \).

Найти: Величина внешнего угла при вершине B.

Решение:

1. Так как треугольник равнобедренный с основанием AB, то \( \angle A = \angle B \).
2. Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \).
3. Подставим \( \angle C = 8 \angle A \) и \( \angle B = \angle A \) в уравнение: \[ \angle A + \angle A + 8 \angle A = 180^\circ \]
4. \( 10 \angle A = 180^\circ \)
5. \( \angle A = 18^\circ \).
6. Значит, \( \angle B = 18^\circ \).
7. Внешний угол при вершине B равен \( 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 18^\circ = 162^\circ \).

Ответ: 162.