1. В прямоугольный треугольник вписана окружность радиусом 2 см так, что один из получившихся отрезков касательных равен 4 см. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 24 см.

Решение:

Пусть данный прямоугольный треугольник — ABC, где \( \angle C = 90^{\circ} \). В него вписана окружность с центром O и радиусом \( r = 2 \) см.

Пусть точки касания окружности со сторонами BC, AC, AB будут соответственно D, E, F. Тогда \( OD \perp BC \), \( OE \perp AC \), \( OF \perp AB \). Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны: \( CD = CE = r = 2 \) см. Четырёхугольник CDOE является квадратом, так как \( \angle C = 90^{\circ} \) и \( OD = OE = r \).

Пусть \( BD = BF = x \) и \( AE = AF = y \). Тогда стороны треугольника равны:

• \( BC = CD + DB = 2 + x \)
• \( AC = CE + EA = 2 + y \)
• \( AB = BF + FA = x + y \)

Периметр треугольника равен 24 см:

\[ (2 + x) + (2 + y) + (x + y) = 24 \]\[ 4 + 2x + 2y = 24 \]\[ 2(x + y) = 20 \]\[ x + y = 10 \]

Из условия задачи известно, что один из отрезков касательных равен 4 см. Возможны два случая:

Случай 1: \( x = 4 \) см.

Тогда \( y = 10 - x = 10 - 4 = 6 \) см.

Стороны треугольника:

• \( BC = 2 + x = 2 + 4 = 6 \) см.
• \( AC = 2 + y = 2 + 6 = 8 \) см.
• \( AB = x + y = 4 + 6 = 10 \) см.

Проверим теорему Пифагора: \( 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \), \( 10^2 = 100 \). Условие выполняется.

Случай 2: \( y = 4 \) см.

Тогда \( x = 10 - y = 10 - 4 = 6 \) см.

Стороны треугольника:

• \( BC = 2 + x = 2 + 6 = 8 \) см.
• \( AC = 2 + y = 2 + 4 = 6 \) см.
• \( AB = x + y = 6 + 4 = 10 \) см.

Этот случай даёт те же стороны, что и первый, только переставленные местами для катетов.

Ответ: Стороны треугольника равны 6 см, 8 см и 10 см.