1. В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и ВС диагональ АС является биссектрисой угла А, равного 45°. Найдите длину диагонали BD, если меньшее основание трапеции равно 8√2.

Решение:

Пусть дан прямоугольная трапеция ABCD, где \( ∠A = 90^\circ \). Основания \( AD \) и \( BC \). \( AC \) — биссектриса \( ∠A \). \( BC = 8√2 \). Так как \( AC \) — биссектриса \( ∠A \), то \( ∠BAC = ∠CAD = 45^\circ \).

В прямоугольной трапеции \( BC ‖ AD \). \( ∠BCA = ∠CAD = 45^\circ \) как накрест лежащие при параллельных \( BC \) и \( AD \) и секущей \( AC \).

В прямоугольном треугольнике \( ABC \): \( ∠ABC = 90^\circ \). \( ∠BCA = 45^\circ \). Следовательно, \( ∠BAC = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \).

Треугольник \( ABC \) — равнобедренный с \( AB = BC = 8√2 \).

Так как трапеция прямоугольная, \( AB ⊥ AD \) и \( AB ⊥ BC \).

В прямоугольном треугольнике \( ACD \): \( ∠ADC = 90^\circ \). \( ∠CAD = 45^\circ \). Следовательно, \( ∠ACD = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \).

Треугольник \( ACD \) — равнобедренный с \( AB = CD = 8√2 \).

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \( ABD \). \( ∠BAD = 90^\circ \). \( AB = 8√2 \).

Найдём \( AD \). \( AD = BC + (проекция CD на AD) \). В прямоугольной трапеции \( ABCD \), если \( ∠A = 90^\circ \) и \( ∠B = 90^\circ \), то \( AB=CD \) если это равнобедренная трапеция, но у нас прямоугольная. В прямоугольной трапеции опустим высоту из \( C \) на \( AD \), пусть это будет \( CH \). Тогда \( ABCH \) — прямоугольник, \( AH = BC = 8√2 \), \( CH = AB \). \( ∠ACD = 45^\circ \) и \( ∠CAD = 45^\circ \) в \( △ ACD \), значит \( AB = CD = 8√2 \).

В прямоугольном треугольнике \( ACD \): \( AD = AH + HD \). \( HD = CD •  cos(∠ADC) \) — это неверно. \( AD = BC + HD \). \( HD = CD •  cos(∠D) \) — это неверно. \( HD = CD •  sin(∠ACD) \) — тоже неверно.

В прямоугольном треугольнике \( ACD \), \( ∠C = 45^\circ \), \( ∠D = 90^\circ \), \( ∠CAD = 45^\circ \). \( CD = 8√2 \). \( HD = CD •  tg(45^\circ) = 8√2 • 1 = 8√2 \). Это неверно. \( HD \) — это катет, прилежащий к углу \( ∠CAD \). \( CD \) — гипотенуза. \( HD = CD •  cos(45^\circ) = 8√2 •  \frac{√2}{2} = 8 • \frac{2}{2} = 8 \). Это неверно.

Рассмотрим \( △ ACD \). \( ∠D = 90^\circ \), \( ∠CAD = 45^\circ \). \( CD \) — это боковая сторона, а \( AD \) — основание. \( ∠ACD = 45^\circ \). \( CD \) — гипотенуза. \( AD \) — катет. \( CD = AB = 8√2 \). \( AD = CD •  tg(45^\circ) = 8√2 \). Это тоже неверно.

Вернёмся к \( ∠BCA = 45^\circ \) и \( ∠CAD = 45^\circ \). \( ∠ACD = 180 - 90 - 45 = 45^\circ \). \( △ ACD \) — равнобедренный, \( AD = CD \). Но \( CD \) — это боковая сторона. \( AB \) — высота. \( AB = CD = 8√2 \). Тогда \( AD = 8√2 \).

В прямоугольном \( △ ABD \): \( AB = 8√2 \), \( AD = 8√2 \). \( BD^2 = AB^2 + AD^2 \). \( BD^2 = (8√2)^2 + (8√2)^2 = 64 • 2 + 64 • 2 = 128 + 128 = 256 \). \( BD = √256 = 16 \).

Ответ: 16