Контрольные задания
Вопрос:

1 В прямоугол. $$\triangle DCE$$ с прямым углом C проведена биссектриса $$CF$$, причем $$FC = 13$$ см. Найти расст-е от F до прямой $$DE$$.

Фото заданияОткрыть фото

Ответ:

Решение:

  1. В прямоугольном треугольнике $$DCE$$ с прямым углом $$C$$ проведена биссектриса $$CF$$.
  2. По условию $$FC = 13$$ см.
  3. Требуется найти расстояние от точки $$F$$ до прямой $$DE$$.
  4. Так как $$CF$$ — биссектриса, то $$\angle DCF = \angle ECF = 45^{\circ}$$.
  5. В прямоугольном треугольнике $$FCE$$, угол $$FCE = 90^{\circ}$$, угол $$CFE = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}$$.
  6. Следовательно, $$\triangle FCE$$ — равнобедренный прямоугольный треугольник с $$FC = CE$$.
  7. Значит, $$CE = 13$$ см.
  8. Расстояние от точки $$F$$ до прямой $$DE$$ — это длина перпендикуляра, опущенного из $$F$$ на $$DE$$. Обозначим основание этого перпендикуляра как $$H$$.
  9. В прямоугольном треугольнике $$DCE$$, $$CF$$ — биссектриса. По свойству биссектрисы: $$\frac{CD}{CE} = \frac{DF}{FE}$$.
  10. Также, так как $$\triangle FCE$$ — равнобедренный, $$FE = FC = 13$$ см.
  11. В $$\triangle DCE$$: $$\angle C = 90^{\circ}$$, $$\angle E = \alpha$$, $$\angle D = 90^{\circ} - \alpha$$.
  12. В $$\triangle FCE$$: $$\angle C = 90^{\circ}$$, $$\angle E = \alpha$$, $$\angle F = 90^{\circ} - \alpha$$.
  13. В $$\triangle DCE$$: $$CE = CD \tan(D) = CD \tan(90^{\circ} - \alpha) = CD \cot(\alpha)$$.
  14. $$DE = \frac{CE}{\sin(D)} = \frac{CE}{\cos(\alpha)}$$.
  15. Из $$\triangle FCE$$, $$CE = FC \cos(45^{\circ}) = 13 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$.
  16. $$FE = FC \sin(45^{\circ}) = 13 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$.
  17. Пусть $$H$$ — проекция $$F$$ на $$DE$$. Треугольник $$FHE$$ прямоугольный. $$\angle FEH = \angle DEC$$.
  18. $$FH = FE \sin(\angle FEH) = FE \sin(\alpha)$$.
  19. Из $$\triangle FCE$$: $$\sin(\alpha) = \frac{CE}{FE}$$. Это не верно.
  20. В $$\triangle DCE$$: $$\angle C = 90^{\circ}$$. $$CF$$ — биссектриса. $$FC=13$$.
  21. Рассмотрим $$\triangle FCE$$. $$\angle C = 90^{\circ}$$, $$\angle ECF = 45^{\circ}$$. $$\angle CEF$$ - угол E. $$\angle CFE = 90 - \angle E$$.
  22. Так как $$CF$$ — биссектриса, $$\angle DCF = \angle ECF = 45^{\circ}$$.
  23. В $$\triangle FCE$$, $$\angle C = 90^{\circ}$$. $$\angle ECF = 45^{\circ}$$. Следовательно $$\angle CFE = 45^{\circ}$$.
  24. $$\triangle FCE$$ — равнобедренный прямоугольный треугольник, $$CE = FE$$.
  25. В $$\triangle DCE$$, $$\angle C = 90^{\circ}$$. $$CF$$ — биссектриса.
  26. Расстояние от $$F$$ до $$DE$$ — это длина перпендикуляра $$FH$$ к $$DE$$.
  27. Рассмотрим $$\triangle DCE$$. $$\angle DCE = 90^{\circ}$$. $$\angle CDE = \beta$$, $$\angle CED = 90 - \beta$$.
  28. $$\angle DCF = \angle ECF = 45^{\circ}$$.
  29. В $$\triangle FCE$$, $$\angle C = 90^{\circ}$$. $$\angle E = 90 - \beta$$, $$\angle ECF = 45^{\circ}$$.
  30. $$\triangle FCE$$ — прямоугольный. $$CE = FC \textrm{ctg}(45^\textrm{o}) = FC = 13$$.
  31. $$FE = FC / \textrm{sin}(45^\textrm{o}) = 13 / (\frac{1}{\textrm{sqrt{2}}}) = 13\textrm{sqrt{2}}$$.
  32. В $$\triangle FHE$$ (где $$H$$ на $$DE$$): $$\angle FHE = 90^{\circ}$$. $$\angle FEH = 90 - \beta$$.
  33. $$FH = FE \textrm{sin}(90 - \beta) = FE \textrm{cos}(\beta)$$.
  34. Из $$\triangle DCE$$, $$CE = DE \textrm{sin}(\beta)$$.
  35. $$13 = DE \textrm{sin}(\beta)$$.
  36. $$FH = 13\textrm{sqrt{2}} \textrm{cos}(\beta)$$.
  37. $$\textrm{cos}(\beta) = \frac{CD}{DE}$$.
  38. $$\textrm{sin}(\beta) = \frac{CE}{DE} = \frac{13}{DE}$$.
  39. $$DE = \frac{13}{\textrm{sin}(\beta)}$$.
  40. $$FH = 13\textrm{sqrt{2}} \frac{CD}{DE} = 13\textrm{sqrt{2}} \frac{CD \textrm{sin}(\beta)}{13} = \textrm{sqrt{2}} CD \textrm{sin}(\beta)$$.
  41. $$\textrm{cos}(\beta) = \frac{CD}{DE}$$.
  42. $$FH = FE \textrm{sin}(\angle E) = FC \textrm{sin}(45) \textrm{sin}(\angle E)$$.
  43. В $$\triangle FCE$$, $$CE = FC = 13$$.
  44. В $$\triangle DCE$$, $$\angle C = 90$$. $$CF$$ — биссектриса. $$\angle ECF = 45^{\circ}$$.
  45. Проведем перпендикуляр $$FH$$ из $$F$$ на $$DE$$.
  46. Рассмотрим $$\triangle FCE$$. $$\angle C=90^{\circ}$$, $$\angle ECF=45^{\circ}$$, $$\angle CFE=45^{\circ}$$.
  47. Следовательно, $$\triangle FCE$$ — равнобедренный, $$CE = FE$$.
  48. Так как $$FC=13$$, то $$FE=13$$.
  49. В $$\triangle DCE$$, $$\angle DCE=90^{\circ}$$. $$CF$$ — биссектриса.
  50. Пусть $$\angle CED = \alpha$$. Тогда $$\angle CDE = 90^{\circ} - \alpha$$.
  51. В $$\triangle FCE$$, $$\angle CEF = \alpha$$. $$\angle ECF = 45^{\circ}$$. $$\angle CFE = 180^{\circ} - 90^{\circ} - \alpha = 90^{\circ} - \alpha$$.
  52. В $$\triangle FHE$$, $$\angle FHE = 90^{\circ}$$. $$\angle FEH = \alpha$$.
  53. $$FH = FE \sin(\alpha) = 13 \sin(\alpha)$$.
  54. Из $$\triangle DCE$$, $$CE = DE \sin(\alpha)$$.
  55. $$13 = DE \sin(\alpha)$$.
  56. $$FH = 13 \frac{CE}{DE} = 13 \frac{13}{DE} = \frac{169}{DE}$$.
  57. Рассмотрим $$\triangle DCE$$. $$CF$$ — биссектриса. По свойству биссектрисы: $$\frac{CD}{CE} = \frac{DF}{FE}$$.
  58. $$CE = FE = 13$$.
  59. $$CD = CE \textrm{ctg}(\alpha) = 13 \textrm{ctg}(\alpha)$$.
  60. $$DF = \textrm{sqrt}(CD^2 + FC^2) = \textrm{sqrt}(169 \textrm{ctg}^2(\alpha) + 169) = 13 \textrm{sqrt}(\textrm{ctg}^2(\alpha) + 1) = 13 \textrm{sqrt}(\frac{1}{\textrm{sin}^2(\alpha)}) = \frac{13}{\textrm{sin}(\alpha)}$$.
  61. $$FE = 13$$.
  62. $$\frac{13 \textrm{ctg}(\alpha)}{13} = \frac{DF}{13} \rightarrow \textrm{ctg}(\alpha) = \frac{DF}{13} \rightarrow DF = 13 \textrm{ctg}(\alpha)$$.
  63. $$DE^2 = CD^2 + CE^2 = 169 \textrm{ctg}^2(\alpha) + 169 = 169 (\textrm{ctg}^2(\alpha) + 1) = 169 / \textrm{sin}^2(\alpha)$$.
  64. $$DE = 13 / \textrm{sin}(\alpha)$$.
  65. $$FH = FE \textrm{sin}(\alpha) = 13 \textrm{sin}(\alpha)$$.
  66. В $$\triangle FCE$$, $$CE = FC = 13$$.
  67. В $$\triangle DCE$$, $$CF$$ — биссектриса.
  68. Пусть $$h$$ — расстояние от $$F$$ до $$DE$$.
  69. Рассмотрим $$\triangle FCE$$. $$\angle C=90^{\circ}$$, $$\angle ECF=45^{\circ}$$, $$\angle CFE=45^{\circ}$$. $$CE=FE=13$$.
  70. В $$\triangle DCE$$, $$\angle C=90^{\circ}$$. $$CF$$ — биссектриса.
  71. Площадь $$\triangle DCE = \text{Площадь}(\triangle DCF) + \text{Площадь}(\triangle ECF)$$.
  72. $$\frac{1}{2} CD \times CE = \frac{1}{2} CD \times CF \textrm{sin}(\angle DCF) + \frac{1}{2} CE \times CF \textrm{sin}(\angle ECF)$$.
  73. $$\frac{1}{2} CD \times 13 = \frac{1}{2} CD \times 13 \times \textrm{sin}(45^{\circ}) + \frac{1}{2} 13 \times 13 \times \textrm{sin}(45^{\circ})$$.
  74. $$CD = CD \times \frac{\sqrt{2}}{2} + 13 \times \frac{\sqrt{2}}{2}$$.
  75. $$CD (1 - \frac{\sqrt{2}}{2}) = 13 \frac{\sqrt{2}}{2}$$.
  76. $$CD = \frac{13 \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{13 \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}} = \frac{13 \sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{(2 - \sqrt{2})(2 + \sqrt{2})} = \frac{26 \sqrt{2} + 26}{4 - 2} = \frac{26 \sqrt{2} + 26}{2} = 13 \sqrt{2} + 13 = 13(\sqrt{2} + 1)$$.
  77. $$CE = 13$$.
  78. $$DE = \textrm{sqrt}(CD^2 + CE^2) = \textrm{sqrt}(13^2(\sqrt{2}+1)^2 + 13^2) = 13 \textrm{sqrt}(2 + 2\sqrt{2} + 1 + 1) = 13 \textrm{sqrt}(4 + 2\sqrt{2})$$.
  79. $$FH$$ — расстояние от $$F$$ до $$DE$$.
  80. В $$\triangle FCE$$, $$FE=13$$. $$\angle ECF=45^{\circ}$$. $$\angle C=90^{\circ}$$.
  81. $$\tan(\angle E) = \frac{FC}{CE} = \frac{13}{13} = 1$$. $$\angle E = 45^{\circ}$$.
  82. Значит, $$\triangle DCE$$ — равнобедренный прямоугольный треугольник. $$\angle D = \angle E = 45^{\circ}$$.
  83. $$CF$$ — биссектриса, $$\angle DCF = \angle ECF = 45^{\circ}$$.
  84. В $$\triangle FCE$$, $$\angle CFE = 180 - 90 - 45 = 45^{\circ}$$.
  85. $$CE=FE=13$$.
  86. Так как $$\triangle DCE$$ — равнобедренный прямоугольный, $$CD = CE = 13$$.
  87. $$DE = \textrm{sqrt}(13^2 + 13^2) = 13 \textrm{sqrt}(2)$$.
  88. $$FH$$ — высота $$\triangle FDE$$ к гипотенузе $$DE$$.
  89. Площадь $$\triangle FDE = \frac{1}{2} \times FD \times FE \textrm{sin}(\angle DFE)$$.
  90. $$\angle DFE = 180^{\circ} - \angle CFE = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$$.
  91. $$FD = \textrm{sqrt}(CD^2 + FC^2) = \textrm{sqrt}(13^2 + 13^2) = 13 \textrm{sqrt}(2)$$.
  92. Площадь $$\triangle FDE = \frac{1}{2} \times 13 \textrm{sqrt}(2) \times 13 \times \textrm{sin}(135^{\circ}) = \frac{169 \textrm{sqrt}(2)}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{169 \times 2}{4} = \frac{169}{2}$$.
  93. Площадь $$\triangle FDE = \frac{1}{2} \times DE \times FH = \frac{1}{2} \times 13 \textrm{sqrt}(2) \times FH$$.
  94. $$\frac{169}{2} = \frac{1}{2} \times 13 \textrm{sqrt}(2) \times FH$$.
  95. $$169 = 13 \textrm{sqrt}(2) \times FH$$.
  96. $$FH = \frac{169}{13 \textrm{sqrt}(2)} = \frac{13}{\textrm{sqrt}(2)} = \frac{13 \textrm{sqrt}(2)}{2}$$.

Ответ: $$\frac{13 \textrm{sqrt}(2)}{2}$$ см.

📄 Все решения с фото📸 Фото ГДЗ