1. Упростите выражение: а) 7ax⁵ · (−2a⁴x²); б) (5a³b)². 2. Решите уравнение: 3−4(1−6x) = 2(3x + 4). 3. Разложите на множители: а) 3а²−9ab; б) x³−25x. 4. По электронной почте послано три сообщения общим объёмом 600 килобайт. Объём первого сообщения на 300 килобайт меньше объёма третьего и в 3 раза меньше объёма второго. Найдите объём каждого сообщения. 5. Докажите, что при любых значениях букв верно равенство: (a−x)(a+x)−b(b+2x) − (a−b−x)(a + b + x) = 0. 6. На графике функции y = −3x + 10 найдите точку, ордината которой противоположна её абсциссе.

1. Упрощение выражений:

1. а) \( 7ax^5 \cdot (-2a^4x^2) = -14a^{1+4}x^{5+2} = -14a^5x^7 \)
2. б) \( (5a^3b)^2 = 5^2 \cdot (a^3)^2 \cdot b^2 = 25a^6b^2 \)

2. Решение уравнения:

\( 3 - 4(1 - 6x) = 2(3x + 4) \)

1. Раскроем скобки: \( 3 - 4 + 24x = 6x + 8 \)
2. Приведём подобные слагаемые: \( -1 + 24x = 6x + 8 \)
3. Перенесём члены с \( x \) в одну сторону, а постоянные — в другую: \( 24x - 6x = 8 + 1 \)
4. \( 18x = 9 \)
5. \( x = \frac{9}{18} = \frac{1}{2} \)

3. Разложение на множители:

1. а) \( 3a^2 - 9ab = 3a(a - 3b) \)
2. б) \( x^3 - 25x = x(x^2 - 25) = x(x-5)(x+5) \)

4. Объём сообщений:

Пусть \( x \) — объём второго сообщения.

1. Объём первого сообщения: \( \frac{x}{3} \)
2. Объём третьего сообщения: \( \frac{x}{3} + 300 \)
3. Общий объём: \( \frac{x}{3} + x + \frac{x}{3} + 300 = 600 \)
4. \( \frac{5x}{3} = 300 \)
5. \( x = \frac{300 \cdot 3}{5} = 180 \)
6. Объём первого сообщения: \( \frac{180}{3} = 60 \) кб.
7. Объём второго сообщения: \( 180 \) кб.
8. Объём третьего сообщения: \( 60 + 300 = 360 \) кб.

5. Доказательство равенства:

Раскроем скобки:

\( (a-x)(a+x) - b(b+2x) - (a-b-x)(a+b+x) \)

\( = (a^2 - x^2) - (b^2 + 2bx) - ((a-x)-b)((a+x)+b) \)

\( = a^2 - x^2 - b^2 - 2bx - ((a-x)^2 - b^2) \)

\( = a^2 - x^2 - b^2 - 2bx - (a^2 - 2ax + x^2 - b^2) \)

\( = a^2 - x^2 - b^2 - 2bx - a^2 + 2ax - x^2 + b^2 \)

\( = (a^2 - a^2) + (-x^2 - x^2) + (-b^2 + b^2) + (-2bx + 2ax) \)

\( = -2x^2 - 2bx + 2ax \)

Примечание: В условии задачи, вероятно, допущена опечатка, так как равенство не выполняется. Если бы последнее слагаемое было \( -(a-b-x)(a+b-x) \), то было бы \( -( (a-x)^2 - b^2 ) \), что привело бы к \( -2x^2 \). Если же последнее слагаемое \( -(a-b-x)(a+b+x) \), то оно равно \( -( (a+x)^2 - (b+x)^2 ) \) или \( -( a^2 - b^2 ) \).

В исходном виде равенство не верно.

6. Нахождение точки на графике:

Уравнение графика: \( y = -3x + 10 \).

Условие: ордината \( y \) противоположна абсциссе \( x \), то есть \( y = -x \).

1. Приравняем оба выражения для \( y \): \( -x = -3x + 10 \)
2. Решим уравнение: \( -x + 3x = 10 \)
3. \( 2x = 10 \)
4. \( x = 5 \)
5. Найдем \( y \): \( y = -x = -5 \)

Ответ: точка (5; -5).