1. Упростить выражение 2. Сократить дробь 3. Решить уравнение x² - x - 72 = 0. 4. В уравнении x² + 11x + q = 0 один из корней равен -7. Найти другой корень и коэффициент q. 5. Расстояние между двумя пристанями 72 км, моторная лодка проходит по течению реки на 2 часа быстрее, чем против течения. Найти скорость течения реки, если собственная скорость лодки равна 15 км/ч.

1. Упростить выражение

\( \frac{m+2}{3-m} + \frac{m-1}{m-3} = \frac{m+2}{3-m} - \frac{m-1}{3-m} = \frac{m+2 - (m-1)}{3-m} = \frac{m+2-m+1}{3-m} = \frac{3}{3-m} \)

Ответ: \( \frac{3}{3-m} \).

2. Сократить дробь

\( \frac{50 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{10}} = \frac{50 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{10}}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = \frac{50 \cdot \sqrt{20}}{10} = 5 \cdot \sqrt{4 \cdot 5} = 5 \cdot 2 \sqrt{5} = 10 \sqrt{5} \)

Ответ: \( 10\sqrt{5} \).

3. Решить уравнение

\( x^2 - x - 72 = 0 \)

Найдём дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 1 + 288 = 289 \]

\( \sqrt{D} = \sqrt{289} = 17 \)

Найдём корни:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 17}{2} = \frac{18}{2} = 9 \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 17}{2} = \frac{-16}{2} = -8 \]

Ответ: Г) -9 и -8.

4. Найти другой корень и коэффициент q

Пусть \( x_1 = -7 \). Подставим этот корень в уравнение \( x^2 + 11x + q = 0 \):

\[ (-7)^2 + 11(-7) + q = 0 \]

\[ 49 - 77 + q = 0 \]

\[ -28 + q = 0 \]

\[ q = 28 \]

Теперь уравнение имеет вид: \( x^2 + 11x + 28 = 0 \). Найдём второй корень:

\[ x_1 + x_2 = -11 \]

\[ -7 + x_2 = -11 \]

\[ x_2 = -11 + 7 \]

\[ x_2 = -4 \]

Ответ: другой корень равен -4, коэффициент q равен 28.

5. Найти скорость течения реки

Пусть \( v \) — собственная скорость лодки, \( c \) — скорость течения реки.

\( v = 15 \) км/ч.

Скорость по течению: \( v + c = 15 + c \).

Скорость против течения: \( v - c = 15 - c \).

Расстояние \( S = 72 \) км.

Время в пути по течению: \( t_1 = \frac{S}{v+c} = \frac{72}{15+c} \).

Время в пути против течения: \( t_2 = \frac{S}{v-c} = \frac{72}{15-c} \).

По условию, лодка по течению проходит расстояние на 2 часа быстрее, чем против течения. Значит, \( t_2 - t_1 = 2 \).

\[ \frac{72}{15-c} - \frac{72}{15+c} = 2 \]

Разделим обе части на 2:

\[ \frac{36}{15-c} - \frac{36}{15+c} = 1 \]

Приведём к общему знаменателю:

\[ \frac{36(15+c) - 36(15-c)}{(15-c)(15+c)} = 1 \]

\[ \frac{540 + 36c - 540 + 36c}{225 - c^2} = 1 \]

\[ \frac{72c}{225 - c^2} = 1 \]

\[ 72c = 225 - c^2 \]

\[ c^2 + 72c - 225 = 0 \]

Найдём дискриминант:

\[ D = 72^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-225) = 5184 + 900 = 6084 \]

\[ \sqrt{D} = \sqrt{6084} = 78 \]

Найдём \( c \):

\[ c_1 = \frac{-72 + 78}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]

\[ c_2 = \frac{-72 - 78}{2} = \frac{-150}{2} = -75 \]

Скорость течения не может быть отрицательной, поэтому \( c = 3 \) км/ч.

Ответ: Скорость течения реки равна 3 км/ч.