Ответ:

1) Неверно: в предложении одна грамматическая основа — «шапка — одна», однородных сказуемых нет.

2) Верно: грамматическая основа — «император подарил»; предложение простое и двусоставное.

3) Неверно: в предложении «Шапка Мономаха стала короной не сразу» сказуемое «стала короной» составное именное.

4) Верно: в предложении две грамматические основы — «передавали» и «она выглядела»; части соединены союзом «и».

5) Верно: придаточная часть «Когда же решили венчать Мономаховой шапкой на царство» указывает на время действия главной части.

Ответ: 2, 4, 5.