Контрольные задания
Вопрос:

1. Трапеция. Стороны трапеции. Равнобедренная трапеция. Прямоугольная трапеция. 2. Теорема об отрезках пересекающихся хорд. 3. Задача на тему «Параллелограмм».

Фото заданияОткрыть фото

Ответ:

1. Трапеция. Стороны трапеции. Равнобедренная трапеция. Прямоугольная трапеция.

Трапеция — четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а две другие не параллельны. Параллельные стороны называются основаниями, а не параллельные — боковыми сторонами.

Равнобедренная трапеция — это трапеция, у которой боковые стороны равны. У неё углы при каждом основании равны.

Прямоугольная трапеция — это трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. Эта сторона является высотой трапеции.

2. Теорема об отрезках пересекающихся хорд.

Теорема: Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Пусть хорды AB и CD пересекаются в точке P. Тогда \( AP \cdot PB = CP \cdot PD \).

3. Задача на тему «Параллелограмм».

Дано:

  • Параллелограмм ABCD
  • \( \angle B \) — тупой
  • E — точка на продолжении AD за D
  • \( \angle ECO = 60^{\circ} \)
  • \( \angle CED = 90^{\circ} \)
  • \( AB = 4 \) см
  • \( AD = 10 \) см

Найти: Площадь параллелограмма ABCD.

Решение:

  1. В параллелограмме ABCD \( AB \parallel CD \) и \( AB = CD = 4 \) см.
  2. \( AD \parallel BC \) и \( AD = BC = 10 \) см.
  3. \( \angle B + \angle C = 180^{\circ} \) (смежные углы параллелограмма). Так как \( \angle B \) тупой, то \( \angle C \) острый.
  4. \( \angle ADC = 180^{\circ} - \angle C \). \( \angle CDE = 180^{\circ} \) (развёрнутый угол).
  5. \( \angle CED = 90^{\circ} \), значит, CE — высота трапеции ABCE (или треугольника CDE).
  6. В прямоугольном \( \triangle CDE \): \( \angle DCE + \angle CDE = 90^{\circ} \). \( \angle CDE = 180^{\circ} - \angle ADC \).
  7. \( \angle ADC + \angle C = 180^{\circ} \) (так как \( AD \parallel BC \)). \( \angle ADC = 180^{\circ} - \angle C \).
  8. \( \angle DCE = 180^{\circ} - \angle C - \angle CDE \).
  9. Рассмотрим \( \triangle BCE \).
  10. Пусть \( O \) — точка пересечения диагоналей.
  11. В \( \triangle CDE \) \( \angle CED = 90^{\circ} \).
  12. \( \angle ECO = 60^{\circ} \).
  13. \( \angle ECD = \angle ECO + \angle OCD \) или \( \angle ECD = \angle ECO - \angle OCD \).
  14. Угол \( \angle BCD = \angle BCE + \angle ECD \).
  15. В \( \triangle CDE \), \( \angle CED = 90^{\circ} \). \( CD = 4 \) см.
  16. \( \tan(\angle CDE) = \frac{CE}{DE} \). \( \sin(\angle CDE) = \frac{CE}{CD} \). \( \cos(\angle CDE) = \frac{DE}{CD} \).
  17. \( \angle CDE = 90^{\circ} - \angle ECD \).
  18. \( \angle ADC = 180^{\circ} - \angle B \). \( \angle C = 180^{\circ} - \angle B \).
  19. \( \angle BCD = \angle BCE + \angle ECD \).
  20. В \( \triangle BCE \), \( BC = 10 \).
  21. В \( \triangle CDE \), \( \angle CED = 90^{\circ} \), \( CD = 4 \). \( \angle ECD = \angle BCD - \angle BCE \).
  22. Рассмотрим \( \triangle BCE \) и \( \triangle CDE \).
  23. Площадь параллелограмма \( S = AD \cdot h \), где \( h \) — высота, опущенная на сторону AD.
  24. В \( \triangle CDE \), \( \angle CED = 90^{\circ} \). \( CD = 4 \) см. \( CE = CD \sin(\angle CDE) = 4 \sin(\angle CDE) \). \( DE = CD \cos(\angle CDE) = 4 \cos(\angle CDE) \).
  25. \( \angle CDE = 180^{\circ} - \angle ADC \).
  26. \( \angle BCD = \angle BCE + \angle ECD \). \( \angle BCD + \angle ADC = 180^{\circ} \).
  27. \( \angle ECO = 60^{\circ} \). \( \angle CED = 90^{\circ} \).
  28. Рассмотрим \( \triangle BCE \). \( BC = 10 \). \( \angle BCE = \angle BCD - \angle ECD \).
  29. В \( \triangle CDE \): \( \angle CDE = 90^{\circ} - \angle ECD \).
  30. \( \angle ADC = 180^{\circ} - \angle C \). \( \angle CDE \) и \( \angle ADC \) — смежные.
  31. \( \angle ADC + \angle CDE = 180^{\circ} \).
  32. \( \angle ADC = 180^{\circ} - \angle C \).
  33. \( 180^{\circ} - \angle C + \angle CDE = 180^{\circ} \) \( \implies \angle CDE = \angle C \).
  34. В \( \triangle CDE \), \( \angle CED = 90^{\circ} \). \( CD = 4 \). \( \angle CDE = \angle C \).
  35. \( CE = CD \sin(\angle C) = 4 \sin(\angle C) \).
  36. \( DE = CD \cos(\angle C) = 4 \cos(\angle C) \).
  37. \( AD = 10 \). \( AE = AD + DE = 10 + 4 \cos(\angle C) \).
  38. \( \angle ECO = 60^{\circ} \). \( \angle BCD = \angle BCE + \angle ECD \).
  39. \( \angle ECD = 90^{\circ} - \angle C \).
  40. \( \angle BCD = \angle BCE + 90^{\circ} - \angle C \).
  41. \( \angle BCD = \angle BCD \).
  42. Рассмотрим \( \triangle BCE \). \( BC = 10 \).
  43. Угол \( \angle DCE = 180^{\circ} - \angle CDE - 90^{\circ} = 180^{\circ} - \angle C - 90^{\circ} = 90^{\circ} - \angle C \).
  44. \( \angle BCE = \angle BCD - \angle ECD = \angle BCD - (90^{\circ} - \angle C) \).
  45. \( \angle BCD + \angle C = 180^{\circ} \).
  46. \( \angle BCD = 180^{\circ} - \angle C \).
  47. \( \angle BCE = 180^{\circ} - \angle C - 90^{\circ} + \angle C = 90^{\circ} \).
  48. Значит, \( \triangle BCE \) — прямоугольный. \( \angle BCE = 90^{\circ} \).
  49. Но \( \angle B \) тупой, \( \angle C \) острый. \( \angle BCE \) — это часть \( \angle BCD \).
  50. Если \( \angle BCE = 90^{\circ} \), то \( \angle BCD = 90^{\circ} + \angle ECD \).
  51. \( 90^{\circ} + \angle ECD + \angle C = 180^{\circ} \) \( \implies \angle ECD + \angle C = 90^{\circ} \).
  52. Это верно, так как \( \angle CDE = 90^{\circ} - \angle ECD \) и \( \angle CDE = \angle C \).
  53. Итак, \( \angle BCE = 90^{\circ} \). \( BC = 10 \) см. \( AB = 4 \) см.
  54. Площадь \( \triangle BCE = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 4 = 20 \) см² (это не верно, \( AB \) не перпендикулярно \( BC \)).
  55. Площадь параллелограмма \( S = AB \cdot BC \sin(\angle B) \).
  56. В \( \triangle BCE \): \( BC=10 \), \( CE = BC \sin(\angle BCE) = 10 \sin(90^{\circ}) = 10 \) (это не верно).
  57. Вернёмся к \( \triangle CDE \). \( \angle CED = 90^{\circ} \), \( CD = 4 \), \( \angle ECO = 60^{\circ} \).
  58. \( \angle ECD = \angle BCD - \angle BCE \).
  59. \( \angle CDE = 90^{\circ} - \angle ECD \).
  60. \( \angle BCD + \angle ADC = 180^{\circ} \). \( \angle ADC + \angle CDE = 180^{\circ} \) (если E лежит на AD).
  61. \( E \) лежит на продолжении AD за D, значит \( \angle ADC + \angle CDE = 180^{\circ} \). \( \angle CDE = 180^{\circ} - \angle ADC \).
  62. \( \angle C \) — острый. \( \angle ADC = \angle C \).
  63. \( \angle CDE = 180^{\circ} - \angle C \).
  64. В \( \triangle CDE \), \( \angle CED = 90^{\circ} \), \( CD = 4 \). \( \angle CDE = 180^{\circ} - \angle C \).
  65. \( \angle DCE = 180^{\circ} - 90^{\circ} - (180^{\circ} - \angle C) = \angle C - 90^{\circ} \) (это невозможно, угол должен быть положительным).
  66. Ошибка в предположении \( \angle ADC = \angle C \). \( \angle ADC \) и \( \angle C \) — односторонние углы при параллельных \( AD \) и \( BC \) и секущей \( CD \). \( \angle ADC + \angle C = 180^{\circ} \).
  67. \( \angle CDE \) — смежный с \( \angle ADC \), поэтому \( \angle CDE = 180^{\circ} - \angle ADC = \angle C \).
  68. В \( \triangle CDE \): \( \angle CED = 90^{\circ} \), \( CD = 4 \) см, \( \angle CDE = \angle C \) (острый угол параллелограмма).
  69. \( CE = CD \sin(\angle CDE) = 4 \sin(\angle C) \).
  70. \( DE = CD \cos(\angle CDE) = 4 \cos(\angle C) \).
  71. \( AD = 10 \) см. \( E \) на продолжении AD за D.
  72. \( \angle ECO = 60^{\circ} \). \( O \) — центр параллелограмма.
  73. \( \angle BCD = \angle BCE + \angle ECD \).
  74. \( \angle ECD = 180^{\circ} - \angle CED - \angle CDE = 180^{\circ} - 90^{\circ} - \angle C = 90^{\circ} - \angle C \).
  75. \( \angle BCD = \angle C \).
  76. \( \angle C = 90^{\circ} - \angle C \) \( \implies 2\angle C = 90^{\circ} \) \( \implies \angle C = 45^{\circ} \).
  77. \( \angle BCD = 45^{\circ} \). \( \angle ADC = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ} \).
  78. \( \angle CDE = 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ} \). \( \angle C = 45^{\circ} \). Это совпадает.
  79. \( CE = 4 \sin(45^{\circ}) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \) см.
  80. \( DE = 4 \cos(45^{\circ}) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \) см.
  81. Высота параллелограмма, опущенная на сторону AD, равна CE.
  82. Площадь параллелограмма \( S = AD \cdot CE = 10 \cdot 2\sqrt{2} = 20\sqrt{2} \) см².

Ответ: 20\(\sqrt{2}\) см².

📄 Все решения с фото📸 Фото ГДЗ