1. Точка N лежит на стороне KM треугольника KPM так, что KN : NM = 7 : 3, ∠MNP = 120°. Найдите PN, если KP = 12, PM = 16.

Обозначим NM через a, а PN через p. Тогда KN = 7a/3. Так как K, N, M лежат на одной прямой, углы MNP и KNP — смежные, поэтому ∠KNP = 60°.

По теореме косинусов для треугольников MNP и KNP:

p² + 3ap + a² = 256;

p² − (7/3)ap + (49/9)a² = 144.

Вычитая второе равенство из первого, получаем 6ap − 5a² = 126. Положим t = p/a. Из этого равенства a² = 252/(12t − 10). Подстановка в первое равенство приводит к уравнению 63t² − 579t + 703 = 0, откуда t = (579 ± √158085)/126.

Оба корня дают положительные длины и совместимы с исходными данными. Соответствующие значения PN равны приблизительно 8,48 и 12,89.

Ответ: PN ≈ 8,48 или PN ≈ 12,89.