1. Тип 13 № 105 а) Решите уравнение 2 cos 2x-3+4sinx = 0. б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π; 7π/3].

Решение:

1. Преобразуем уравнение:

   Используем формулу косинуса двойного угла: \( \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x \).

   Подставляем в уравнение:

   \[ 2(1 - 2\sin^2 x) - 3 + 4\sin x = 0 \]

   Раскрываем скобки:

   \[ 2 - 4\sin^2 x - 3 + 4\sin x = 0 \]

   Приводим подобные члены:

   \[ -4\sin^2 x + 4\sin x - 1 = 0 \]

   Умножаем на -1 для удобства:

   \[ 4\sin^2 x - 4\sin x + 1 = 0 \]
2. Решаем квадратное уравнение относительно \( \sin x \):

   Пусть \( t = \sin x \). Тогда уравнение принимает вид:

   \[ 4t^2 - 4t + 1 = 0 \]

   Это квадратное уравнение можно решить через дискриминант или заметить, что это полный квадрат:

   \[ (2t - 1)^2 = 0 \]

   Отсюда:

   \[ 2t - 1 = 0 \]\[ t = \frac{1}{2} \]
3. Находим \( x \):

   Возвращаемся к замене \( t = \sin x \):

   \[ \sin x = \frac{1}{2} \]

   Общее решение этого уравнения:

   \[ x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]
4. Выбираем корни, принадлежащие отрезку [π; 7π/3]:

   Переберем значения \( n \) и проверим, попадают ли корни в заданный интервал.

   • При \( n = 0 \): \( x = (-1)^0 \frac{\pi}{6} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{6} \). Этот корень меньше \( \pi \).
   • При \( n = 1 \): \( x = (-1)^1 \frac{\pi}{6} + \pi \cdot 1 = -\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6} \). Этот корень меньше \( \pi \).
   • При \( n = 2 \): \( x = (-1)^2 \frac{\pi}{6} + \pi \cdot 2 = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6} \). Проверим, попадает ли этот корень в отрезок [\( \pi \); \( 7\pi/3 \)]. \( \pi \approx 3.14 \), \( 7\pi/3 \approx 7.33 \). \( 13\pi/6 \approx 13 \cdot 3.14 / 6 \approx 40.82 / 6 \approx 6.8 \). Этот корень входит в отрезок.
   • При \( n = 3 \): \( x = (-1)^3 \frac{\pi}{6} + \pi \cdot 3 = -\frac{\pi}{6} + 3\pi = \frac{17\pi}{6} \). \( 17\pi/6 \approx 17 \cdot 3.14 / 6 \approx 53.38 / 6 \approx 8.89 \). Этот корень больше \( 7\pi/3 \).

   Таким образом, единственный корень, принадлежащий отрезку [\( \pi \); \( 7\pi/3 \)], это \( \frac{13\pi}{6} \).

Ответ: ℱ = { 13π/6 }