1) Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Решение:

1. Найдём апофему боковой грани (высоту боковой грани):

Основание апофемы лежит на середине стороны основания, поэтому образует прямоугольный треугольник с катетами 5 (половина стороны основания) и апофемой, а гипотенуза — это боковое ребро, равное 13.

По теореме Пифагора: \( h_a^2 + 5^2 = 13^2 \)

\( h_a^2 = 169 - 25 = 144 \)

\( h_a = \sqrt{144} = 12 \)

2. Найдём площадь боковой поверхности:

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Периметр основания: \( P = 4 \cdot 10 = 40 \)

\( S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 12 = 20 \cdot 12 = 240 \)

3. Найдём площадь основания:

Площадь квадрата: \( S_{осн} = a^2 = 10^2 = 100 \)

4. Найдём площадь полной поверхности:

\( S_{полн} = S_{бок} + S_{осн} = 240 + 100 = 340 \)

Ответ: 340.