1 Среди чисел 35, 2,614; 7 5 9; 93; 8,01; 0; 100 49 ; 5; 4 2 11 найди: а) натуральные числа; б) обыкновенные дроби; в) смешанные дроби; г) десятичные дроби. 2 Сравни числа: 4 4 а) 15 и 7; 67 B) 84 и 15; 9 9 6) 8 13 и 8 13 53 11 г) 60 и 75; д) 3,1 и 3,078; е) 5,4200 и 5,42; ж) 1,0036 и 0,02; 3) 0,8 и 5 6 3 Вычисли: 64 : (5 4 19 24 2+ 1)- 7 1 5 8 3 4 Реши уравнение: 0,8. (4,7y – 0,38) + 40,04 = 45. 5 Высота прямоугольного параллелепипеда равна 2,5 м, ширина состав- ляет 60% высоты и 3 4 длины. Найди объём этого параллелепипеда. 6 Переведи на математический язык: «Произведение квадрата числа т и суммы кубов чисел п и к», Найди значение полученного выражения при т = 2, n = 1, k = 3. 7 Два автомата могут упаковать контейнер для молока за 12 мин. После 9 мин совместной работы второй автомат из-за неисправности остановился, а первый закончил упаковку контейнера за 4 мин. За сколько минут второй автомат, работая отдельно, выполняет всю работу?

1. Анализ чисел:

• а) Натуральные числа: 35, 93, 5, 2.
• б) Обыкновенные дроби: \( \frac{7}{9} \), \( \frac{49}{11} \), \( \frac{4}{11} \).
• в) Смешанные дроби: \( 2\frac{614}{1000} \) (или \( 2\frac{153.5}{250} \)), \( 8\frac{1}{5} \), \( 4\frac{2}{11} \).
• г) Десятичные дроби: 2,614, 8,01, 0.

2. Сравнение чисел:

• а) \( \frac{4}{15} \) и \( \frac{4}{7} \) → \( \frac{4}{15} < \frac{4}{7} \)
• б) \( 8\frac{2}{13} \) и \( 8\frac{9}{13} \) → \( 8\frac{2}{13} < 8\frac{9}{13} \)
• в) \( \frac{67}{84} \) и \( \frac{15}{9} \) → \( \frac{67}{84} < \frac{15}{9} \)
• г) \( \frac{60}{75} \) и \( \frac{53}{11} \) → \( \frac{60}{75} < \frac{53}{11} \)
• д) 3,1 и 3,078 → 3,1 > 3,078
• е) 5,4200 и 5,42 → 5,4200 = 5,42
• ж) 1,0036 и 0,02 → 1,0036 > 0,02
• з) \( 0,8 \) и \( \frac{5}{6} \) → \( \frac{4}{5} \) и \( \frac{5}{6} \) → \( \frac{24}{30} \) и \( \frac{25}{30} \) → \( 0,8 < \frac{5}{6} \)

3. Вычисление:

\( 6\frac{4}{5} : \left( 3\frac{1}{6} - 2\frac{2}{4} + \frac{19}{24} \right) - \frac{7}{5} \cdot \frac{1}{8} \)

1. Приведём к общим знаменателям дроби в скобках: \( 3\frac{1}{6} = 3\frac{4}{24} \), \( 2\frac{2}{4} = 2\frac{12}{24} \).
2. Вычислим в скобках: \( 3\frac{4}{24} - 2\frac{12}{24} + \frac{19}{24} = \frac{76}{24} - \frac{60}{24} + \frac{19}{24} = \frac{35}{24} \).
3. Переведём смешанную дробь в неправильную: \( 6\frac{4}{5} = \frac{34}{5} \).
4. Выполним деление: \( \frac{34}{5} : \frac{35}{24} = \frac{34}{5} \cdot \frac{24}{35} = \frac{816}{175} \).
5. Выполним умножение: \( \frac{7}{5} \cdot \frac{1}{8} = \frac{7}{40} \).
6. Выполним вычитание: \( \frac{816}{175} - \frac{7}{40} \). Общий знаменатель: 1400. \( \frac{816 \cdot 8}{1400} - \frac{7 \cdot 35}{1400} = \frac{6528 - 245}{1400} = \frac{6283}{1400} \).
7. Выделим целую часть: \( \frac{6283}{1400} = 4\frac{683}{1400} \).

Ответ: \( 4\frac{683}{1400} \).

4. Решение уравнения:

\( 0,8 \cdot (4,7y - 0,38) + 40,04 = 45 \)

1. \( 0,8 \cdot (4,7y - 0,38) = 45 - 40,04 \)
2. \( 0,8 \cdot (4,7y - 0,38) = 4,96 \)
3. \( 4,7y - 0,38 = \frac{4,96}{0,8} \)
4. \( 4,7y - 0,38 = 6,2 \)
5. \( 4,7y = 6,2 + 0,38 \)
6. \( 4,7y = 6,58 \)
7. \( y = \frac{6,58}{4,7} \)
8. \( y = 1,4 \)

Ответ: \( y = 1,4 \).

5. Объём параллелепипеда:

Высота \( h = 2,5 \) м.

Ширина \( b = 60 \% \) высоты \( = 0,6 \cdot 2,5 = 1,5 \) м.

Длина \( a = \frac{3}{4} \) высоты \( = \frac{3}{4} \cdot 2,5 = 0,75 \cdot 2,5 = 1,875 \) м.

Объём \( V = a \cdot b \cdot h \)

\( V = 1,875 \cdot 1,5 \cdot 2,5 = 7,03125 \) м³.

Ответ: 7,03125 м³.

6. Математическая запись и вычисление:

«Произведение квадрата числа т и суммы кубов чисел п и к» записывается как \( m^2 \cdot (n^3 + k^3) \).

При \( m = 2, n = 1, k = 3 \):

\( 2^2 \cdot (1^3 + 3^3) = 4 \cdot (1 + 27) = 4 \cdot 28 = 112 \).

Ответ: \( m^2 \cdot (n^3 + k^3) = 112 \).

7. Время работы второго автомата:

Пусть \( x \) — время, за которое второй автомат упаковывает контейнер отдельно.

Производительность первого автомата: \( \frac{1}{12} \) контейнера в минуту.

Производительность второго автомата: \( \frac{1}{x} \) контейнера в минуту.

За 9 минут совместной работы они упаковали: \( 9 \cdot (\frac{1}{12} + \frac{1}{x}) \) контейнеров.

После 9 минут второй автомат остановился. Первый автомат работал еще 4 минуты.

За эти 4 минуты первый автомат упаковал: \( 4 \cdot \frac{1}{12} = \frac{1}{3} \) контейнера.

Весь контейнер упакован, значит, сумма работы обоих автоматов равна 1:

\( 9 \cdot (\frac{1}{12} + \frac{1}{x}) + \frac{1}{3} = 1 \)

\( 9 \cdot (\frac{1}{12} + \frac{1}{x}) = 1 - \frac{1}{3} \)

\( 9 \cdot (\frac{1}{12} + \frac{1}{x}) = \frac{2}{3} \)

\( \frac{1}{12} + \frac{1}{x} = \frac{2}{3 \cdot 9} \)

\( \frac{1}{12} + \frac{1}{x} = \frac{2}{27} \)

\( \frac{1}{x} = \frac{2}{27} - \frac{1}{12} \)

Приведём дроби к общему знаменателю (108):

\( \frac{1}{x} = \frac{2 \cdot 4}{108} - \frac{1 \cdot 9}{108} \)

\( \frac{1}{x} = \frac{8 - 9}{108} \)

\( \frac{1}{x} = -\frac{1}{108} \)

Возникла ошибка в условии задачи или в моих рассуждениях, так как время не может быть отрицательным. Проверим условие: \( 9 \cdot \frac{1}{12} + 9 \cdot \frac{1}{x} + 4 \cdot \frac{1}{12} = 1 \)

\( \frac{9}{12} + \frac{9}{x} + \frac{4}{12} = 1 \)

\( \frac{13}{12} + \frac{9}{x} = 1 \)

\( \frac{9}{x} = 1 - \frac{13}{12} \)

\( \frac{9}{x} = -\frac{1}{12} \)

\( x = -108 \).

Переосмыслим задачу: первый автомат работает 12 мин. Значит, за 9 мин он сделал \( \frac{9}{12} = \frac{3}{4} \) работы. За оставшиеся 4 мин он сделал \( \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \) работы. Итого \( \frac{3}{4} + \frac{1}{3} = \frac{9+4}{12} = \frac{13}{12} \), что больше 1. Задача некорректна.

Предположим, что 12 минут — это время, за которое первый автомат упаковывает контейнер, а второй упаковывает за \( x \) минут.

Работа, выполненная первым за 9 минут: \( \frac{9}{12} = \frac{3}{4} \).

Работа, выполненная первым за 4 минуты: \( \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \).

Общая работа первого: \( \frac{3}{4} + \frac{1}{3} = \frac{9+4}{12} = \frac{13}{12} \). Это противоречие.

Давайте предположим, что 12 минут — это время, за которое оба автомата вместе упаковывают контейнер.

Производительность первого: \( p_1 \), второго: \( p_2 \).

\( p_1 + p_2 = \frac{1}{12} \).

За 9 минут совместной работы: \( 9(p_1 + p_2) = 9 \cdot \frac{1}{12} = \frac{3}{4} \).

После 9 минут второй автомат остановился. Первый работал еще 4 минуты. Работа первого за эти 4 минуты: \( 4p_1 \).

Общая работа = 1.

\( 9(p_1 + p_2) + 4p_1 = 1 \)

\( \frac{3}{4} + 4p_1 = 1 \)

\( 4p_1 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} \)

\( p_1 = \frac{1}{16} \).

Теперь найдём \( p_2 \):

\( \frac{1}{16} + p_2 = \frac{1}{12} \)

\( p_2 = \frac{1}{12} - \frac{1}{16} \)

Общий знаменатель 48:

\( p_2 = \frac{4}{48} - \frac{3}{48} = \frac{1}{48} \).

Время, за которое второй автомат выполнит всю работу самостоятельно: \( x = \frac{1}{p_2} = 48 \) минут.

Ответ: 48 минут.