1) Сколько часов понадобилось автомобилю, чтобы догнать велосипедиста? 2) На том же рисунке достройте график движения автомобиля до момента возвращения в пункт А.

Решение:

1. Определим скорость велосипедиста и автомобиля:

Расстояние между пунктами А и Б равно 150 км.

Велосипедист:

На рисунке 1 видно, что велосипедист доехал до пункта Б (150 км) за 20 часов (по горизонтали). Так как он сделал остановку на 3 часа, то время в пути составило \( 20 - 3 = 17 \) часов. Скорость велосипедиста: \( v_{велосипедиста} = \frac{S}{t} = \frac{150 \text{ км}}{17 \text{ ч}} \).

Автомобиль:

На рисунке 2 видно, что автомобиль доехал до пункта Б (150 км) за 10 часов. Скорость автомобиля: \( v_{автомобиля} = \frac{S}{t} = \frac{150 \text{ км}}{10 \text{ ч}} = 15 \text{ км/ч} \).

2. Определим время, когда автомобиль догнал велосипедиста:

Пусть \( t \) — время в часах после выезда автомобиля. Расстояние, пройденное автомобилем: \( S_{авто} = 15t \).

Расстояние, пройденное велосипедистом: \( S_{вело} = v_{велосипедиста} \cdot (t + \text{время выезда велосипедиста}) \).

В момент, когда автомобиль догнал велосипедиста, их расстояния от пункта А равны. Учитывая, что автомобиль выехал позже, нам нужно найти момент, когда их пути пересекутся.

Из графика 1 (велосипедист):

• \( 0 \) до \( 7 \) ч — движение, \( S \) растёт.
• \( 7 \) до \( 10 \) ч — остановка ( \( S = 75 \) км).
• \( 10 \) до \( 20 \) ч — движение, \( S \) от \( 75 \) до \( 150 \) км.

Скорость велосипедиста на участке от 10 до 20 часов: \( v_{велосипедиста} = \frac{150 - 75}{20 - 10} = \frac{75}{10} = 7.5 \text{ км/ч} \).

Пусть \( t_0 \) — время начала движения автомобиля. Велосипедист начал движение в \( 7 \) часов. Автомобиль начал движение в \( t_0 \) часов. Время, прошедшее с начала движения велосипедиста, равно \( T \). Время, прошедшее с начала движения автомобиля, равно \( T - t_0 \).

Из графика 2 (автомобиль):

• \( 0 \) до \( 5 \) ч — движение, \( S \) растёт.
• \( 5 \) до \( 8 \) ч — остановка ( \( S = 75 \) км).
• \( 8 \) до \( 10 \) ч — движение, \( S \) от \( 75 \) до \( 150 \) км.

Скорость автомобиля на первом участке: \( v_{автомобиля} = \frac{75}{5} = 15 \text{ км/ч} \). Скорость автомобиля на втором участке: \( v_{автомобиля} = \frac{150 - 75}{10 - 8} = \frac{75}{2} = 37.5 \text{ км/ч} \). График 2 на рисунке показан только на пути из А в Б, и автомобиль едет со скоростью 15 км/ч (60 км за 4 часа), а потом 75 км за 2 часа, значит 37.5 км/ч. Скорость автомобиля — 15 км/ч, судя по начальному участку.

Уточнение по заданию: Скорость автомобиля постоянна и равна \( 15 \text{ км/ч} \) (из графика 2). Автомобиль выехал в \( t=0 \) на графике 2, что соответствует \( 8 \) часам утра. Велосипедист выехал в \( 7 \) часов утра.

Уравнение движения велосипедиста (для времени \( t \) после \( 8 \) часов утра):

• С \( 7 \) до \( 10 \) часов: \( S_{вело} = 7.5 \times (t - 7) \) для \( 7 ≤ t ≤ 10 \).
• С \( 10 \) до \( 20 \) часов: \( S_{вело} = 75 + 7.5 \times (t - 10) \) для \( 10 ≤ t ≤ 20 \).

Уравнение движения автомобиля (для времени \( t \) после \( 8 \) часов утра):

• \( S_{авто} = 15 \times (t - 8) \) для \( 8 ≤ t ≤ 10 \).
• \( S_{авто} = 75 + 37.5 \times (t - 8) \) для \( 8 ≤ t ≤ 10 \).

Найдём момент, когда автомобиль догнал велосипедиста.

В \( 8 \) часов утра (начало движения автомобиля):

• Велосипедист проехал \( 7.5 \text{ км/ч} \times (8-7) \text{ ч} = 7.5 \) км.
• Автомобиль только выезжает.

Допустим, автомобиль догнал велосипедиста в момент времени \( t \) (в часах с \( 7 \) утра).

Расстояние автомобиля: \( S_{авто} = 15 \times (t - 8) \), где \( t ≥ 8 \).

Расстояние велосипедиста: \( S_{вело} = 7.5 \times (t - 7) \) для \( 7 ≤ t ≤ 10 \).

Приравниваем расстояния: \( 15(t - 8) = 7.5(t - 7) \)

\( 15t - 120 = 7.5t - 52.5 \)

\( 7.5t = 120 - 52.5 \)

\( 7.5t = 67.5 \)

\( t = \frac{67.5}{7.5} = 9 \) часов.

Значит, автомобиль догнал велосипедиста в \( 9 \) часов утра. Автомобиль начал движение в \( 8 \) часов. Следовательно, ему понадобилось \( 9 - 8 = 1 \) час, чтобы догнать велосипедиста.

1) Ответ: 1 час.

2) Построение графика автомобиля до момента возвращения в пункт А:

Автомобиль доехал до пункта Б (150 км) за 10 часов. Сделал остановку на 3 часа (до 13 часов). Затем поехал обратно в пункт А. Скорость на пути из А в Б была 15 км/ч. Скорость на обратном пути также будет 15 км/ч (если не указано иное).

• Время возвращения в пункт А: \( 150 \text{ км} / 15 \text{ км/ч} = 10 \) часов.
• Автомобиль вернётся в пункт А через 10 часов после выезда из Б.
• Время возвращения в А: \( 13 \text{ ч} + 10 \text{ ч} = 23 \) часа.

График будет продолжаться из точки (13, 150) вниз до точки (23, 0) со скоростью 15 км/ч.

2) График достроен на основе расчётов.