1. Simplify: $$3^{-14}  3^{-19} : 3^{-34}$$ 2. Simplify: $$\frac{2^{-4} \cdot (2^{-9})^5}{(2^{-8})^2 \cdot 2^{-3}}$$ 3. Simplify: $$\sqrt{45} \cdot \sqrt{5}$$ 4. Simplify: $$\sqrt{8, 25, 9, 09, 144}$$

Решение:

1. Упрощение степеней:

   Используем правила степеней: $$a^m  a^n = a^{m+n}$$ и $$a^m : a^n = a^{m-n}$$.

   \[ 3^{-14} \cdot 3^{-19} : 3^{-34} = 3^{-14 + (-19)} : 3^{-34} \]\[ = 3^{-33} : 3^{-34} = 3^{-33 - (-34)} = 3^{-33 + 34} = 3^1 = 3 \]
2. Упрощение дроби со степенями:

   Используем правила степеней: $$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$ и $$a^m  a^n = a^{m+n}$$.

   \[ \frac{2^{-4} \cdot (2^{-9})^5}{(2^{-8})^2 \cdot 2^{-3}} = \frac{2^{-4} \cdot 2^{-9 \cdot 5}}{2^{-8 \cdot 2} \cdot 2^{-3}} = \frac{2^{-4} \cdot 2^{-45}}{2^{-16} \cdot 2^{-3}} = \frac{2^{-4 + (-45)}}{2^{-16 + (-3)}} = \frac{2^{-49}}{2^{-19}} \]\[ = 2^{-49 - (-19)} = 2^{-49 + 19} = 2^{-30} \]
3. Упрощение корней:

   Используем свойство корней: $$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$$ и $$\sqrt{a^2} = a$$.

   \[ \sqrt{45} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{45 \cdot 5} = \sqrt{225} \]\[ \sqrt{225} = \sqrt{15^2} = 15 \]
4. Извлечение квадратных корней:

   Находим квадратные корни из каждого числа.

   \[ \sqrt{8} \text{ (не является целым числом, вероятно, опечатка, будем считать} \sqrt{64} \text{ или} \sqrt{16} \text{)} \]\[ \sqrt{25} = 5 \]\[ \sqrt{9} = 3 \]\[ \sqrt{09} = \sqrt{9} = 3 \]\[ \sqrt{144} = 12 \]

   Если предположить, что первое число должно было быть 16 или 64:

   • Если $$\sqrt{16}$$: $$16, 25, 9, 9, 144$$. Результат: $$4, 5, 3, 3, 12$$.
   • Если $$\sqrt{64}$$: $$64, 25, 9, 9, 144$$. Результат: $$8, 5, 3, 3, 12$$.

   Учитывая написание, наиболее вероятно, что это была последовательность чисел, из которых нужно извлечь корень.

Ответ: 1. 3; 2. $$2^{-30}$$; 3. 15; 4. (см. объяснение)