1. Рис. 3.157. Дано: АМ = AN, ∠MNC = 117°, ∠ABC = 63°. Доказать: MN || BC.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник \( AMN \). Так как \( AM = AN \), то треугольник \( AMN \) равнобедренный. Углы при основании равны: \( \angle AMN = \angle ANM \).

2. Угол \( MNC \) — внешний угол треугольника \( AMN \). Поэтому \( \angle MNC = \angle MAN + \angle AMN \).

3. Найдем \( \angle MAN \): \( \angle MAN = \angle MNC - \angle AMN \). Так как \( \angle AMN = \angle ANM \), то \( \angle MAN = 117^\circ - \angle ANM \).

4. Сумма углов треугольника \( AMN \) равна \( 180^\circ \): \( \angle MAN + \angle AMN + \angle ANM = 180^\circ \). Подставим \( \angle AMN = \angle ANM \) и \( \angle MAN = 117^\circ - \angle ANM \): \( (117^\circ - \angle ANM) + \angle ANM + \angle ANM = 180^\circ \).

5. Решаем полученное уравнение: \( 117^\circ + \angle ANM = 180^\circ \) \( \Rightarrow \angle ANM = 180^\circ - 117^\circ = 63^\circ \).

6. Следовательно, \( \angle AMN = \angle ANM = 63^\circ \).

7. Теперь рассмотрим углы \( ANM \) и \( ABC \). \( \angle ANM = 63^\circ \) и \( \angle ABC = 63^\circ \). Так как эти углы являются соответственными при прямых \( MN \) и \( BC \) и секущей \( AC \), то \( MN ∥ BC \).

Что и требовалось доказать.