Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 1. Решите уравнения: а) \(x^4=(3x-10)^2\); б) \((x+1)^4+(x+1)^2-6=0\); в) \(x^2-6x+\sqrt{6-x}=\sqrt{6-x}+7\); г)…Фото задания

Ответ:

  1. Преобразуем разность квадратов:

    \(x^4-(3x-10)^2=0\), поэтому \((x^2-3x+10)(x^2+3x-10)=0\).

    У первого квадратного множителя дискриминант отрицателен: \(D=9-40=-31\), действительных корней нет. Второй множитель даёт \(x^2+3x-10=(x+5)(x-2)=0\).

    Ответ: \(x=-5;\ 2\).

  2. Положим \(y=(x+1)^2\), где \(y\geq 0\). Тогда \(y^2+y-6=0\), то есть \((y+3)(y-2)=0\). С учётом \(y\geq0\), получаем \(y=2\).

    Значит, \((x+1)^2=2\), откуда \(x=-1\pm\sqrt{2}\).

    Ответ: \(x=-1-\sqrt{2};\ -1+\sqrt{2}\).

  3. Область допустимых значений: \(x\leq6\). Одинаковые радикалы в обеих частях сокращаются, и остаётся \(x^2-6x=7\).

    \(x^2-6x-7=0\), \((x-7)(x+1)=0\). Корень \(7\) не входит в область допустимых значений, а \(-1\) входит.

    Ответ: \(x=-1\).

  4. Разложим на множители группировкой:

    \(x^3+2x^2-9x-18=x^2(x+2)-9(x+2)=(x+2)(x-3)(x+3)\).

    Ответ: \(x=-3;\ -2;\ 3\).

  5. Пусть \(t=\frac{1}{x-1}\), где \(x\ne1\). Тогда \(t^2+3t-10=0\), или \((t+5)(t-2)=0\).

    Если \(t=2\), то \(x-1=\frac12\), откуда \(x=\frac32\). Если \(t=-5\), то \(x-1=-\frac15\), откуда \(x=\frac45\).

    Ответ: \(x=\frac45;\ \frac32\).