1) Решите уравнение tg x = 2 sin x. 2) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−4π; −5π/2].

Краткая запись:

• Уравнение: \( \text{tg } x = 2 \sin x \)
• Отрезок: \( [-4\pi; -\frac{5\pi}{2}] \)

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Преобразуем уравнение, используя тождество \( \text{tg } x = \frac{\sin x}{\cos x} \). Учитываем, что \( \cos x
   eq 0 \).
   \( \frac{\sin x}{\cos x} = 2 \sin x \)
2. Шаг 2: Перенесём всё в одну часть и вынесем \( \sin x \) за скобки.
   \( \frac{\sin x}{\cos x} - 2 \sin x = 0 \)
   \( \sin x \left( \frac{1}{\cos x} - 2 \right) = 0 \)
3. Шаг 3: Приравниваем каждый множитель к нулю.
   
   • Первый случай: \( \sin x = 0 \).
     Корни: \( x = \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
   • Второй случай: \( \frac{1}{\cos x} - 2 = 0 \).
     \( \frac{1}{\cos x} = 2 \)
     \( \cos x = \frac{1}{2} \).
     Корни: \( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
4. Шаг 4: Проверим условие \( \cos x
   eq 0 \).
   
   • Для \( x = \pi k \): \( \cos(\pi k) = (-1)^k
     eq 0 \). Все корни подходят.
   • Для \( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \): \( \cos(\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n) = \cos(\pm \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}
     eq 0 \). Все корни подходят.
5. Шаг 5: Найдем корни, принадлежащие отрезку \( [-4\pi; -\frac{5\pi}{2}] \).
   
   • Рассмотрим корни \( x = \pi k \):
     \( -4\pi \le \pi k \le -\frac{5\pi}{2} \)
     \( -4 \le k \le -2.5 \)
     Целые значения \( k \): -4, -3. Корни: \( -4\pi \) и \( -3\pi \).
   • Рассмотрим корни \( x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \):
     \( -4\pi \le \frac{\pi}{3} + 2\pi n \le -\frac{5\pi}{2} \)
     \( -4 \le \frac{1}{3} + 2n \le -2.5 \)
     \( -4 - \frac{1}{3} \le 2n \le -2.5 - \frac{1}{3} \)
     \( -\frac{13}{3} \le 2n \le -\frac{11}{6} \)
     \( -\frac{13}{6} \le n \le -\frac{11}{12} \)
     \( -2.16... \le n \le -0.91... \)
     Целое значение \( n \): -2. Корень: \( \frac{\pi}{3} + 2\pi(-2) = \frac{\pi}{3} - 4\pi = -\frac{11\pi}{3} \).
   • Рассмотрим корни \( x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \):
     \( -4\pi \le -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \le -\frac{5\pi}{2} \)
     \( -4 \le -\frac{1}{3} + 2n \le -2.5 \)
     \( -4 + \frac{1}{3} \le 2n \le -2.5 + \frac{1}{3} \)
     \( -\frac{11}{3} \le 2n \le -\frac{7}{6} \)
     \( -\frac{11}{6} \le n \le -\frac{7}{12} \)
     \( -1.83... \le n \le -0.58... \)
     Целое значение \( n \): -1. Корень: \( -\frac{\pi}{3} + 2\pi(-1) = -\frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{7\pi}{3} \).

Ответ: 1) Корни уравнения: \( x = \pi k \) и \( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \), где \( k, n \in \mathbb{Z} \).
2) Корни, принадлежащие отрезку \( [-4\pi; -\frac{5\pi}{2}] \): \( -4\pi, -3\pi, -3\pi - \frac{\pi}{3} = - \frac{10\pi}{3} \), \( -3\pi + \frac{\pi}{3} = - \frac{8\pi}{3} \).
Уточнение для второго типа корней:
\( x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \) для \( n=-2 \) дает \( \frac{\pi}{3} - 4\pi = -\frac{11\pi}{3} \).
\( x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \) для \( n=-1 \) дает \( -\frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{7\pi}{3} \).
Итак, корни на отрезке: \( -4\pi, -3\pi, -\frac{11\pi}{3}, -\frac{7\pi}{3} \).