1. Решите уравнение 2 tg x + 3 = tg(1,5π + x). Является ли число 0,75π корнем этого уравнения?

Решение:

Данное уравнение: \( 2 \text{ tg } x + 3 = \text{ tg } (1.5\pi + x) \).

Воспользуемся формулой приведения для \( \text{ tg } (1.5\pi + x) \). Так как \( 1.5\pi = \frac{3\pi}{2} \) , то \( \text{ tg } (\frac{3\pi}{2} + x) = - \text{ ctg } x \).

Уравнение примет вид:

\[ 2 \text{ tg } x + 3 = - \text{ ctg } x \]

Заменим \( \text{ ctg } x \) на \( \frac{1}{\text{ tg } x} \):

\[ 2 \text{ tg } x + 3 = - \frac{1}{\text{ tg } x} \]

Умножим обе части уравнения на \( \text{ tg } x \) (при условии, что \( \text{ tg } x \neq 0 \)):

\[ 2 \text{ tg }^2 x + 3 \text{ tg } x = -1 \]

\[ 2 \text{ tg }^2 x + 3 \text{ tg } x + 1 = 0 \]

Сделаем замену переменной: пусть \( y = \text{ tg } x \). Тогда получим квадратное уравнение:

\[ 2y^2 + 3y + 1 = 0 \]

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 \).

Найдем корни:

\[ y_1 = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 1}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5 \]

\[ y_2 = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 1}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \]

Теперь вернемся к замене \( y = \text{ tg } x \):

1. \( \text{ tg } x = -0.5 \)
2. \( \text{ tg } x = -1 \)

Из второго уравнения \( \text{ tg } x = -1 \) получаем:

\[ x = \(\text{ arctg }\) (-1) + \(\pi\) n = -\(\frac{\pi}{4}\) + \(\pi\) n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Теперь проверим, является ли число \( 0.75\pi \) корнем уравнения. Для этого подставим \( x = 0.75\pi = \frac{3\pi}{4} \) в исходное уравнение.

Левая часть: \( 2 \text{ tg } (\frac{3\pi}{4}) + 3 = 2(-1) + 3 = -2 + 3 = 1 \).

Правая часть: \( \text{ tg } (1.5\pi + \frac{3\pi}{4}) = \text{ tg } (\frac{3\pi}{2} + \frac{3\pi}{4}) = \text{ tg } (\frac{6\pi + 3\pi}{4}) = \text{ tg } (\frac{9\pi}{4}) \).

Так как \( \text{ tg } (\frac{9\pi}{4}) = \text{ tg } (2\pi + \frac{\pi}{4}) = \text{ tg } (\frac{\pi}{4}) = 1 \).

Левая часть равна 1, правая часть равна 1. Следовательно, \( x = 0.75\pi \) является корнем уравнения.

Ответ: Корни уравнения: \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi n \) и \( \text{ tg } x = -0.5 \) (или \( x = \text{ arctg}(-0.5) + \pi k \) , где \( n, k \in \mathbb{Z} \) ). Число \( 0.75\pi \) является корнем этого уравнения.