№1. Решите графически a) {x^2 + y^2 = 16, y + x = 0; б) {x^2 + y^2 = 25, y - 2x = 0;

Решение:

а) Система уравнений:

1. Первое уравнение \( x^2 + y^2 = 16 \) задаёт окружность с центром в начале координат \( (0; 0) \) и радиусом \( R = 4 \).
2. Второе уравнение \( y + x = 0 \) можно переписать как \( y = -x \). Это уравнение прямой, проходящей через начало координат с угловым коэффициентом \( -1 \).
3. Для нахождения точек пересечения построим обе фигуры на одной координатной плоскости. График прямой \( y = -x \) проходит через точки \( (4; -4) \) и \( (-4; 4) \), но точки пересечения с окружностью будут другими.
4. Подставим \( y = -x \) в первое уравнение: \( x^2 + (-x)^2 = 16 \)
5. \( x^2 + x^2 = 16 \)
6. \( 2x^2 = 16 \)
7. \( x^2 = 8 \)
8. \( x = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2} \)
9. Если \( x = 2\sqrt{2} \), то \( y = -2\sqrt{2} \).
10. Если \( x = -2\sqrt{2} \), то \( y = 2\sqrt{2} \).

Ответ а): Точки пересечения: \( (2\sqrt{2}; -2\sqrt{2}) \) и \( (-2\sqrt{2}; 2\sqrt{2}) \).

б) Система уравнений:

1. Первое уравнение \( x^2 + y^2 = 25 \) задаёт окружность с центром в начале координат \( (0; 0) \) и радиусом \( R = 5 \).
2. Второе уравнение \( y - 2x = 0 \) можно переписать как \( y = 2x \). Это уравнение прямой, проходящей через начало координат с угловым коэффициентом \( 2 \).
3. Для нахождения точек пересечения построим обе фигуры на одной координатной плоскости.
4. Подставим \( y = 2x \) в первое уравнение: \( x^2 + (2x)^2 = 25 \)
5. \( x^2 + 4x^2 = 25 \)
6. \( 5x^2 = 25 \)
7. \( x^2 = 5 \)
8. \( x = \pm \sqrt{5} \)
9. Если \( x = \sqrt{5} \), то \( y = 2\sqrt{5} \).
10. Если \( x = -\sqrt{5} \), то \( y = -2\sqrt{5} \).

Ответ б): Точки пересечения: \( (\sqrt{5}; 2\sqrt{5}) \) и \( (-\sqrt{5}; -2\sqrt{5}) \).