1) Решить системы уравнений: a) способом подстановки: (3x - 2y = 5, (x + 2y = 15 б) способом сложения: (-5x + 6y = 2, (-2x + 4y = 10 в) графически: (3x + y = 3, (-y + x = 1

Решение:

а) Способом подстановки:

Дана система уравнений:

\( \begin{cases} 3x - 2y = 5 \\ x + 2y = 15 \end{cases} \)

1. Выразим \( x \) из второго уравнения: \( x = 15 - 2y \).
2. Подставим это выражение в первое уравнение: \( 3(15 - 2y) - 2y = 5 \).
3. Раскроем скобки и решим полученное уравнение:
\( 45 - 6y - 2y = 5 \) \( 45 - 8y = 5 \) \( -8y = 5 - 45 \) \( -8y = -40 \) \( y = \frac{-40}{-8} = 5 \)
4. Подставим найденное значение \( y \) в выражение для \( x \):
\( x = 15 - 2(5) = 15 - 10 = 5 \)

Ответ: (5; 5).

б) Способом сложения:

Дана система уравнений:

\( \begin{cases} -5x + 6y = 2 \\ -2x + 4y = 10 \end{cases} \)

1. Умножим первое уравнение на 2, а второе — на -3, чтобы коэффициенты при \( x \) стали противоположными:
\( 2(-5x + 6y) = 2(2) \implies -10x + 12y = 4 \) \( -3(-2x + 4y) = -3(10) \implies 6x - 12y = -30 \)
2. Сложим полученные уравнения:
\( (-10x + 12y) + (6x - 12y) = 4 + (-30) \) \( -4x = -26 \) \( x = \frac{-26}{-4} = 6.5 \)
3. Подставим найденное значение \( x \) в любое из исходных уравнений. Возьмём второе:
\( -2(6.5) + 4y = 10 \) \( -13 + 4y = 10 \) \( 4y = 10 + 13 \) \( 4y = 23 \) \( y = \frac{23}{4} = 5.75 \)

Ответ: (6.5; 5.75).

в) Графически:

Дана система уравнений:

\( \begin{cases} 3x + y = 3 \\ -y + x = 1 \end{cases} \)

Для решения построим графики обоих уравнений.

1. Уравнение: \( 3x + y = 3 \)

• Выразим \( y \): \( y = 3 - 3x \).
• Найдём две точки:
Если \( x = 0 \), то \( y = 3 - 3(0) = 3 \). Точка (0; 3). Если \( x = 1 \), то \( y = 3 - 3(1) = 0 \). Точка (1; 0).

2. Уравнение: \( -y + x = 1 \)

• Выразим \( y \): \( y = x - 1 \).
• Найдём две точки:
Если \( x = 0 \), то \( y = 0 - 1 = -1 \). Точка (0; -1). Если \( x = 1 \), то \( y = 1 - 1 = 0 \). Точка (1; 0).

Точки пересечения графиков:

Графики пересекаются в точке (1; 0).

Ответ: (1; 0).