1. Решить неравенство 2x² + 5x - 12 > 0; 2. Постройте график функции y = x² - 8x + 15.

Решение:

1. Решение неравенства 2x² + 5x - 12 > 0

1. Найдем корни квадратного уравнения 2x² + 5x - 12 = 0.
2. Используем формулу дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac \).
3. \( D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-12) = 25 + 96 = 121 \).
4. \( \sqrt{D} = \sqrt{121} = 11 \).
5. Найдем корни по формуле: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \).
6. \( x_1 = \frac{-5 + 11}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = 1.5 \).
7. \( x_2 = \frac{-5 - 11}{2 \cdot 2} = \frac{-16}{4} = -4 \).
8. Так как парабола \( y = 2x^2 + 5x - 12 \) направлена ветвями вверх (коэффициент при \( x^2 \) положительный), то неравенство \( 2x^2 + 5x - 12 > 0 \) выполняется при \( x < -4 \) или \( x > 1.5 \).

2. Построение графика функции y = x² - 8x + 15

1. График функции \( y = x^2 - 8x + 15 \) — это парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при \( x^2 \) равен 1, что больше 0).
2. Найдем вершину параболы. Координата x вершины находится по формуле \( x_в = -\frac{b}{2a} \).
3. \( x_в = -\frac{-8}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4 \).
4. Найдем координату y вершины, подставив \( x_в \) в уравнение функции: \( y_в = 4^2 - 8 \cdot 4 + 15 = 16 - 32 + 15 = -1 \).
5. Вершина параболы находится в точке (4; -1).
6. Найдем точки пересечения графика с осью x, решив уравнение \( x^2 - 8x + 15 = 0 \).
7. \( D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4 \).
8. \( x = \frac{8 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm 2}{2} \).
9. \( x_1 = \frac{8 + 2}{2} = 5 \), \( x_2 = \frac{8 - 2}{2} = 3 \).
10. Точки пересечения с осью x: (3; 0) и (5; 0).
11. Найдем точку пересечения графика с осью y. Для этого подставим \( x = 0 \) в уравнение функции: \( y = 0^2 - 8 \cdot 0 + 15 = 15 \).
12. Точка пересечения с осью y: (0; 15).

Ответ: 1. \( x < -4 \) или \( x > 1.5 \); 2. График — парабола с вершиной в точке (4; -1) и пересекающая оси x в точках (3; 0) и (5; 0), а ось y в точке (0; 15).