1. Разложите на множители: a) $$p^3 + q^3$$ b) $$m^3n^3 - 1$$ в) $$p^6 - q^3$$ 2. Разложите на множители: a) $$c^3 - d^3$$ b) $$1 + q^3p^3$$ в) $$m^3 + n^{12}$$ 3. Разложите на множители: a) $$27 - x^3$$ b) $$27 - a^3b^3$$ в) $$x^3 - y^6$$

1. Разложение на множители:

a) $$p^3 + q^3$$

Используем формулу суммы кубов: $$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$$.

В данном случае $$a=p$$ и $$b=q$$.

Следовательно, $$p^3 + q^3 = (p+q)(p^2 - pq + q^2)$$.

б) $$m^3n^3 - 1$$

Это разность кубов, так как $$m^3n^3 = (mn)^3$$ и $$1 = 1^3$$. Используем формулу разности кубов: $$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$$.

В данном случае $$a=mn$$ и $$b=1$$.

Следовательно, $$m^3n^3 - 1 = (mn-1)((mn)^2 + mn · 1 + 1^2) = (mn-1)(m^2n^2 + mn + 1).

в) $$p^6 - q^3$$

Это разность кубов, так как $$p^6 = (p^2)^3$$. Используем формулу разности кубов: $$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$$.

В данном случае $$a=p^2$$ и $$b=q$$.

Следовательно, $$p^6 - q^3 = (p^2-q)((p^2)^2 + p^2 · q + q^2) = (p^2-q)(p^4 + p^2q + q^2).

2. Разложение на множители:

a) $$c^3 - d^3$$

Используем формулу разности кубов: $$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$$.

В данном случае $$a=c$$ и $$b=d$$.

Следовательно, $$c^3 - d^3 = (c-d)(c^2 + cd + d^2).

б) $$1 + q^3p^3$$

Это сумма кубов, так как $$1 = 1^3$$ и $$q^3p^3 = (qp)^3$$. Используем формулу суммы кубов: $$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$$.

В данном случае $$a=1$$ и $$b=qp$$.

Следовательно, $$1 + q^3p^3 = (1+qp)(1^2 - 1 · qp + (qp)^2) = (1+qp)(1 - qp + q^2p^2).

в) $$m^3 + n^{12}$$

Это сумма кубов, так как $$n^{12} = (n^4)^3$$. Используем формулу суммы кубов: $$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$$.

В данном случае $$a=m$$ и $$b=n^4$$.

Следовательно, $$m^3 + n^{12} = (m+n^4)((m)^2 - m · n^4 + (n^4)^2) = (m+n^4)(m^2 - mn^4 + n^8).

3. Разложение на множители:

a) $$27 - x^3$$

Это разность кубов, так как $$27 = 3^3$$. Используем формулу разности кубов: $$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$$.

В данном случае $$a=3$$ и $$b=x$$.

Следовательно, $$27 - x^3 = (3-x)(3^2 + 3 · x + x^2) = (3-x)(9 + 3x + x^2).

б) $$27 - a^3b^3$$

Это разность кубов, так как $$27 = 3^3$$ и $$a^3b^3 = (ab)^3$$. Используем формулу разности кубов: $$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$$.

В данном случае $$a=3$$ и $$b=ab$$.

Следовательно, $$27 - a^3b^3 = (3-ab)(3^2 + 3 · ab + (ab)^2) = (3-ab)(9 + 3ab + a^2b^2).

в) $$x^3 - y^6$$

Это разность кубов, так как $$y^6 = (y^2)^3$$. Используем формулу разности кубов: $$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$$.

В данном случае $$a=x$$ и $$b=y^2$$.

Следовательно, $$x^3 - y^6 = (x-y^2)((x)^2 + x · y^2 + (y^2)^2) = (x-y^2)(x^2 + xy^2 + y^4).