1) Различные по форме сечения треугольной призмы; 2) различные по форме сечения параллелепипеда; 3) многогранник, получающийся при пересечении двух правильных треугольных пирамид, расположенных симметрично друг другу относительно середины высоты пирамиды. Докажите, что он является параллелепипедом; 4) сечение прямоугольного параллелепипеда с равными рёбрами, которое имеет форму квадрата.

1) Различные по форме сечения треугольной призмы.

Если плоскость пересекает треугольную призму, сечение может иметь, например, форму треугольника или четырёхугольника. Форма зависит от положения секущей плоскости относительно боковых рёбер и оснований.

2) Различные по форме сечения параллелепипеда.

Сечения параллелепипеда могут быть треугольниками, четырёхугольниками, пятиугольниками и шестиугольниками. Например, плоскость через три ребра, выходящие из одной вершины, даёт треугольное сечение; плоскость, параллельная грани, — четырёхугольное; плоскость, пересекающая шесть граней, может дать шестиугольное сечение.

3) Доказательство.

Пусть основания двух правильных треугольных пирамид — параллельные равные треугольники, а их вершины лежат на одной прямой, перпендикулярной основаниям. Пирамиды расположены вершинами в противоположные стороны и симметричны относительно плоскости, проходящей через середину высоты.

Пересечение представляет собой выпуклый многогранник с двумя треугольными основаниями, параллельными этой плоскости симметрии, и тремя боковыми гранями. Пары противоположных граней равны и параллельны: это следует из симметрии относительно середины высоты и из параллельности плоскостей оснований пирамид. Следовательно, все три пары противоположных граней многогранника параллельны. По определению такой многогранник является параллелепипедом.

4) Сечение прямоугольного параллелепипеда, являющееся квадратом.

Возьмём куб со стороной 1 и плоскость, параллельную одной из его граней. Она пересекает куб по квадрату со стороной 1.

В более общем прямоугольном параллелепипеде с рёбрами длины a, b, c такое сечение будет квадратом, если плоскость параллельна грани с равными сторонами; например, если a = b, то сечение плоскостью, параллельной этой грани, — квадрат.