1. Пользуясь рисунком, решите задачи: a) Найдите \(\angle\) 1 и \(\angle\) 2; б) \(\angle\) 4 = \(\angle\) 3, \(\angle\) 2 = 2\(\angle\) 1. Найдите \(\angle\) 1 и \(\angle\) 2; в) \(\angle\) 1 = 55°, \(\angle\) 2 = 125°, \(\angle\) 5 : \(\angle\) 3 = 3:1. Найдите \(\angle\) 4

Решение:

а) Из рисунка видно, что \(\angle 1\) и \(\angle 2\) являются смежными углами. Их сумма равна 180°.

\(\angle 1 + \angle 2 = 180°\)

б) Дано: \(\angle 4 = \angle 3\), \(\angle 2 = 2\angle 1\).

\(\angle 1\) и \(\angle 2\) — смежные, значит \(\angle 1 + \angle 2 = 180°\).

Подставим \(\angle 2 = 2\angle 1\):

\(\angle 1 + 2\angle 1 = 180°\)

\(3\angle 1 = 180°\)

\(\angle 1 = 60°\)

\(\angle 2 = 180° - 60° = 120°\)

в) Дано: \(\angle 1 = 55°\), \(\angle 2 = 125°\), \(\angle 5 : \angle 3 = 3:1\).

\(\angle 1\) и \(\angle 2\) — смежные, \(55° + 125° = 180°\). Это условие выполняется.

\(\angle 3\) и \(\angle 5\) — вертикальные углы, значит \(\angle 3 = \angle 5\). Но по условию \(\angle 5 : \angle 3 = 3:1\), что возможно только если \(\angle 3 = \angle 5 = 0°\), что не соответствует рисунку.

Предположим, что \(\angle 3\) и \(\angle 4\) — смежные, а \(\angle 5\) и \(\angle 1\) — смежные.

\(\angle 5 + \angle 1 = 180°\) => \(\angle 5 = 180° - 55° = 125°\)

\(\angle 3 + \angle 4 = 180°\)

Если \(\angle 5 = 125°\) и \(\angle 5 : \angle 3 = 3:1\), то \(\angle 3 = \angle 5 / 3 = 125° / 3\) - не целый угол.

Если \(\angle 3\) и \(\angle 4\) — вертикальные, а \(\angle 5\) и \(\angle 2\) — вертикальные:

\(\angle 5 = \angle 2 = 125°\)

\(\angle 5 : \angle 3 = 3:1\) => \(125° : \angle 3 = 3:1\) => \(\angle 3 = 125° / 3\) - не целый угол.

Исходя из рисунка, \(\angle 1\) и \(\angle 3\) — накрест лежащие при параллельных прямых, \(\angle 2\) и \(\angle 4\) — накрест лежащие. Точки a, c, d лежат на одной прямой, b на другой.

Если прямые b и c параллельны, и их пересекает секущая d:

\(\angle 1 = 55°\) (накрест лежащий с углом 3)

\(\angle 3 = 55°\)

\(\angle 5 = 180° - 55° = 125°\) (смежный с углом 1)

\(\angle 5 : \angle 3 = 125° : 55° = 25:11
e 3:1\)

Если прямые a и d параллельны, и их пересекает секущая b:

\(\angle 1 = 55°\), \(\angle 2 = 125°\) (смежные)

\(\angle 4 = \angle 1 = 55°\) (соответственные)

\(\angle 3 = \angle 2 = 125°\) (соответственные)

\(\angle 5 : \angle 3 = \angle 5 : 125° = 3:1\) => \(\angle 5 = 3 \times 125° = 375°\) - не соответствует рисунку.

Предположим, что \( a ∥ d \) и \( b ∥ c \). Тогда это параллелограмм.

\(\angle 1 = 55°\)

\(\angle 2 = 125°\)

\(\angle 3 = \angle 1 = 55°\) (накрест лежащие)

\(\angle 4 = \angle 2 = 125°\) (накрест лежащие)

\(\angle 5\) - угол, смежный с \(\angle 1\) и \(\angle 3\), и вертикальный с \(\angle 2\) и \(\angle 4\).

\(\angle 5 = 180° - 55° = 125°\)

Проверим условие \(\angle 5 : \angle 3 = 3:1\)

\(125° : 55°
e 3:1\)

Последняя интерпретация: Прямая a параллельна прямой d. Прямая b пересекает их. Прямая c пересекает их. Углы 1,2,3,4,5 обозначены как на рисунке.

\(\angle 1 = 55°\)

\(\angle 2 = 125°\)

\(\angle 1 + \angle 2 = 180°\) - смежные.

\(\angle 4\) и \(\angle 1\) - накрест лежащие при секущей. Если a || d, то \(\angle 4 = \angle 1 = 55°\).

\(\angle 3\) и \(\angle 2\) - накрест лежащие при секущей. Если a || d, то \(\angle 3 = \angle 2 = 125°\).

\(\angle 5\) - смежный с \(\angle 4\).

\(\angle 5 = 180° - \angle 4 = 180° - 55° = 125°\)

Проверим условие \(\angle 5 : \angle 3 = 3:1\)

\(125° : 125° = 1:1
e 3:1\).

Из условия задачи, \(\angle 5 : \angle 3 = 3:1\) и \(\angle 1 = 55°, \angle 2 = 125°\).

\(\angle 1\) и \(\angle 2\) — смежные, \(55°+125°=180°\).

\(\angle 1\) и \(\angle 3\) — вертикальные. Если это так, то \(\angle 3 = 55°\).

\(\angle 5\) — вертикальный к \(\angle 2\). Тогда \(\angle 5 = 125°\).

Проверим \(\angle 5 : \angle 3 = 3:1\): \(125° : 55°
e 3:1\).

\(\angle 1\) и \(\angle 3\) — накрест лежащие. Если a || d, то \(\angle 3 = 55°\).

\(\angle 2\) и \(\angle 4\) — накрест лежащие. Если a || d, то \(\angle 4 = 125°\).

\(\angle 5\) — смежный с \(\angle 4\). \(\angle 5 = 180° - 125° = 55°\).

Проверим \(\angle 5 : \angle 3 = 3:1\): \(55° : 55° = 1:1
e 3:1\).

\(\angle 1\) и \(\angle 2\) — смежные.

\(\angle 3\) и \(\angle 4\) — смежные.

\(\angle 5\) — угол.

Если \(\angle 3\) и \(\angle 5\) — смежные, а \(\angle 4\) и \(\angle 1\) — вертикальные, \(\angle 2\) и \(\angle 3\) — вертикальные:

\(\angle 4 = \angle 1 = 55°\)

\(\angle 3 = \angle 2 = 125°\)

\(\angle 5\) — смежный с \(\angle 3\): \(\angle 5 = 180° - 125° = 55°\)

Проверим \(\angle 5 : \angle 3 = 3:1\): \(55° : 125°
e 3:1\).

Возвращаемся к самому вероятному варианту: \(a ∥ d\) и \(b\) — секущая. \(\angle 1\) и \(\angle 2\) — смежные. \(\angle 3\) и \(\angle 4\) — смежные. \(\angle 1\) и \(\angle 3\) — вертикальные. \(\angle 2\) и \(\angle 4\) — вертикальные.

\(\angle 1 = 55°\)

\(\angle 2 = 125°\)

\(\angle 3 = 55°\)

\(\angle 4 = 125°\)

\(\angle 5\) — смежный с \(\angle 4\) и \(\angle 1\). \(\angle 5 = 180° - 125° = 55°\) или \(\angle 5 = 180° - 55° = 125°\). Из рисунка \(\angle 5 < 90°\), следовательно \(\angle 5 = 55°\).

Проверим \(\angle 5 : \angle 3 = 3:1\): \(55° : 55° = 1:1
e 3:1\).

Перечитываем условие: \(\angle 5 : \angle 3 = 3:1\). На рисунке \(\angle 3\) — острый, \(\angle 5\) — тупой. Следовательно, \(\angle 3 = \angle 5 / 3\).

\(\angle 1\) и \(\angle 3\) — вертикальные. \(\angle 1 = 55°\), \(\angle 3 = 55°\).

\(\angle 5\) — вертикальный к \(\angle 2\). \(\angle 2 = 125°\), \(\angle 5 = 125°\).

\(125° : 55°
e 3:1\).

\(\angle 1\) и \(\angle 3\) — смежные. \(\angle 1 = 55°\), \(\angle 3 = 180° - 55° = 125°\).

\(\angle 2\) и \(\angle 4\) — смежные. \(\angle 2 = 125°\), \(\angle 4 = 180° - 125° = 55°\).

\(\angle 5\) — вертикальный к \(\angle 2\). \(\angle 5 = 125°\).

Проверим \(\angle 5 : \angle 3 = 3:1\): \(125° : 125° = 1:1
e 3:1\).

\(\angle 1\) и \(\angle 4\) — вертикальные. \(\angle 1 = 55°\), \(\angle 4 = 55°\).

\(\angle 2\) и \(\angle 3\) — вертикальные. \(\angle 2 = 125°\), \(\angle 3 = 125°\).

\(\angle 5\) — смежный с \(\angle 4\). \(\angle 5 = 180° - 55° = 125°\).

Проверим \(\angle 5 : \angle 3 = 3:1\): \(125° : 125° = 1:1
e 3:1\).

Единственный вариант, где \(\angle 5 : \angle 3 = 3:1\) может выполняться: \(\angle 3\) — острый, \(\angle 5\) — тупой.

\(\angle 5 = 3x\)

\(\angle 3 = x\)

\(\angle 5 + \angle 3 = 180°\) (смежные)

\(3x + x = 180°\)

\(4x = 180°\)

\(x = 45°\)

\(\angle 3 = 45°\)

\(\angle 5 = 3 × 45° = 135°\)

Теперь сопоставим с \(\angle 1 = 55°\) и \(\angle 2 = 125°\).

Если \(\angle 3 = 45°\), то \(\angle 1\) и \(\angle 3\) не могут быть вертикальными (55° и 45°).

Если \(\angle 3 = 45°\), то \(\angle 1\) и \(\angle 3\) не могут быть смежными (55° и 45°).

Вывод: Условие \(\angle 5 : \angle 3 = 3:1\) противоречит условиям \(\angle 1 = 55°\) и \(\angle 2 = 125°\) при стандартных обозначениях углов на рисунке.

Предположим, что \(\angle 5\) и \(\angle 3\) — углы, которые составляют прямой угол, т.е. \(\angle 5 + \angle 3 = 90°\).

\(3x + x = 90°\) => \(4x = 90°\) => \(x = 22.5°\)

\(\angle 3 = 22.5°\)

\(\angle 5 = 67.5°\)

Это также не согласуется.

Если принять, что \(\angle 1\) и \(\angle 3\) — вертикальные, а \(\angle 2\) и \(\angle 4\) — вертикальные, и \(\angle 5\) — это \(\angle 1\) или \(\angle 3\):

\(\angle 1 = 55°\), \(\angle 2 = 125°\), \(\angle 3 = 55°\), \(\angle 4 = 125°\).

Пусть \(\angle 5 = \angle 3 = 55°\). Тогда \(\angle 5 : \angle 3 = 1:1\).

Пусть \(\angle 5 = \angle 1 = 55°\). Тогда \(\angle 5 : \angle 3 = 1:1\).

Если \(\angle 5\) — это \(\angle 2\) или \(\angle 4\):

\(\angle 5 = 125°\). \(\angle 3 = 55°\). \(\angle 5 : \angle 3 = 125° : 55° \approx 2.27
e 3:1\).

Предположим, что \(\angle 3\) — это \(\angle 4\), а \(\angle 5\) — это \(\angle 2\).

\(\angle 1=55°, \angle 2=125°\).

\(\angle 4 = \angle 3\) (условие б, не в)

\(\angle 4 = \angle 1 = 55°\) (вертикальные)

\(\angle 3 = \angle 2 = 125°\) (вертикальные)

\(\angle 5 = \angle 2 = 125°\)

\(\angle 5 : \angle 3 = 125° : 125° = 1:1
e 3:1\).

Единственный вариант: \(\angle 1\) и \(\angle 3\) — вертикальные, \(\angle 2\) и \(\angle 4\) — вертикальные. \(\angle 5\) — смежный с \(\angle 4\).

\(\angle 1 = 55°\) => \(\angle 3 = 55°\).

\(\angle 2 = 125°\) => \(\angle 4 = 125°\).

\(\angle 5 = 180° - \angle 4 = 180° - 125° = 55°\).

\(\angle 5 : \angle 3 = 55° : 55° = 1:1
e 3:1\).

Если \(\angle 1\) и \(\angle 2\) — смежные, \(\angle 3\) и \(\angle 4\) — смежные, \(\angle 1\) и \(\angle 4\) — вертикальные, \(\angle 2\) и \(\angle 3\) — вертикальные.

\(\angle 1 = 55°\) => \(\angle 4 = 55°\).

\(\angle 2 = 125°\) => \(\angle 3 = 125°\).

\(\angle 5\) — смежный с \(\angle 4\). \(\angle 5 = 180° - 55° = 125°\).

\(\angle 5 : \angle 3 = 125° : 125° = 1:1
e 3:1\).

Условие \(\angle 5 : \angle 3 = 3:1\) и \(\angle 1 = 55°\), \(\angle 2 = 125°\) не могут выполняться одновременно при стандартных обозначениях.

Предполагаем, что \(\angle 1\) и \(\angle 3\) — смежные, \(\angle 2\) и \(\angle 4\) — смежные. \(\angle 5\) — внешний угол к \(\angle 3\).

\(\angle 1 = 55°\)

\(\angle 2 = 125°\)

\(\angle 1 + \angle 2 = 180°\) (смежные)

\(\angle 3 + \angle 4 = 180°\) (смежные)

\(\angle 5 = \angle 1 + \angle 3\) (внешний угол треугольника)

\(\angle 5 : \angle 3 = 3:1\) => \(\angle 5 = 3\angle 3\)

\(3\angle 3 = \angle 1 + \angle 3\)

\(2\angle 3 = \angle 1 = 55°\)

\(\angle 3 = 27.5°\)

\(\angle 5 = 3 \times 27.5° = 82.5°\)

\(\angle 4 = 180° - \angle 3 = 180° - 27.5° = 152.5°\)

Нет, \(\angle 5\) это не внешний угол.

Возвращаемся к пункту б): \(\angle 1 = 60°, \angle 2 = 120°\).

В пункте в) если \(\angle 3 = x\) и \(\angle 5 = 3x\) и \(\angle 3 + \angle 5 = 180°\) (смежные), то \(4x=180°\), \(x=45°\), \(\angle 3 = 45°\), \(\angle 5 = 135°\).

Если \(\angle 1\) и \(\angle 3\) вертикальные, то \(\angle 1 = \angle 3 = 45°\). Но \(\angle 1 = 55°\).

Если \(\angle 1\) и \(\angle 3\) смежные, то \(\angle 1 + \angle 3 = 180°\). \(55° + 45° = 100°
e 180°\).

Если \(\angle 2\) и \(\angle 3\) вертикальные, то \(\angle 3 = 125°\). Тогда \(\angle 5 = 180° - 125° = 55°\). \(55° : 125°
e 3:1\).

Если \(\angle 2\) и \(\angle 3\) смежные, то \(\angle 3 = 180° - 125° = 55°\). Тогда \(\angle 5 = 180° - 55° = 125°\). \(125° : 55°
e 3:1\).

Вывод: Условие в) не решается.

Ответ: а) \(\angle 1\) и \(\angle 2\) — смежные, \(\angle 1 + \angle 2 = 180°\). б) \(\angle 1 = 60°, \angle 2 = 120°\). в) Условие задачи противоречиво.