1. Почему корень считается обязательным элементом, а приставка — нет? Может ли слово состоять только из корня? (Пример: я, к, у, шкаф).

Корень — основная значимая часть слова: в нём заключено общее лексическое значение родственных слов. Приставка лишь уточняет или изменяет значение и есть не у каждого слова: например, в слове «дом» приставки нет.

Да, слово может состоять только из корня, если говорить о составе основы: например, «дом», «сад». Но в конкретной изменяемой форме у такого слова может быть нулевое окончание: дом∅ — дома.

В приведённом примере «я» — местоимение, а «к» и «у» — предлоги; разбор служебных слов зависит от принятой школьной системы. «Шкаф» — изменяемое существительное: шкаф∅, шкафа. Поэтому его форма в именительном падеже включает нулевое окончание.