1. Площадь трапеции равна 30. Точка P — середина стороны AB. Точка R на стороне CD выбрана так, что 2CD = 3RD. Прямые AR и PD пересекаются в точке O. Найдите площадь треугольника APO, если AD = 2BC.

Поскольку в условии дана связь между AD и BC, рассматриваем их как параллельные основания трапеции. Обозначим BC = b, тогда AD = 2b, а высоту трапеции — h.

Шаг 1. Из площади трапеции получаем:

\[30=\frac{AD+BC}{2}h=\frac{3b}{2}h,\qquad bh=20.\]

Шаг 2. Введём координаты, сохраняя площади при сдвиге и наклоне боковых сторон: A=(0,0), D=(2b,0), B=(0,h), C=(b,h). Тогда P=(0,h/2). Из 2CD=3RD следует RD=2CD/3, поэтому R=(4b/3,2h/3).

Шаг 3. Пусть O=AR∩PD. Параметрическое задание прямых даёт AR: (4bt/3, 2ht/3) и PD: (2bs, h(1−s)/2). Приравнивая координаты, получаем t=1/2 и s=1/3, следовательно, O=(2b/3,h/3).

Шаг 4. Площадь треугольника APO равна:

\[S_{APO}=\frac12\left|\det\begin{pmatrix}0&h/2\\2b/3&h/3\end{pmatrix}\right|=\frac{bh}{6}=\frac{20}{6}=\frac{10}{3}.\]

Ответ: \(\frac{10}{3}\).